Меню Главная Случайная статья Настройки Прямая Александрова Материал из https://ru.wikipedia.org Прямая Александрова (или длинная прямая) — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии[1]: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков ${\displaystyle [0,1)}$, расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году[2]. Замкнутая прямая Александрова ${\displaystyle L}$ определяется как декартово произведение первого несчётного ординала ${\displaystyle \omega _{1}}$ и полуинтервала ${\displaystyle [0,1)}$, снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы ${\displaystyle \{x\mid a<x<b\}}$), индуцированной лексикографическим порядком на ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$. Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента ${\displaystyle (0,0)}$. Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством, как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема, она секвенциально компактна, но не компактна, линейно связна, локально связна и односвязна, но не стягиваема. Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия[3], несмотря на непаракомпактность, и удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не второй. На ней также можно ввести структуру дифференцируемого[4] и даже аналитического[5] многообразия. Примечания Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in Topology / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. — Dover reprint of 1978. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1995. — P. 71–72. — ISBN 978-0-486-68735-3. P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Rume // Math. Ann. — 1924. — Т. 92. — С. 295—301. — doi:10.1007/BF01448011. Некоторые авторы требуют свойства сепарабельности и счётности базы в определении топологического многообразия, см. Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology, CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632.