Меню Главная Случайная статья Настройки Прямоугольная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Прямоугольная функция, единичный импульс, прямоугольный импульс, или нормированное прямоугольное окно — кусочно-постоянная функция следующего вида: ${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$ В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами. Другое определение функции через функцию Хевисайда ${\displaystyle \theta (t)}$: ${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right),}$ или, иначе: ${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).}$ Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва. Интеграл прямоугольной функции по всей прямой: ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.}$ Спектр прямоугольной функции Спектральный образ прямоугольной функции: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),}$ ${\displaystyle \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left(\omega /2\right)}}}$ — ненормированная sinc-функция. При использовании нормированной sinc-функции: ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).}$ Свёртка прямоугольных функций Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций: ${\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.}$ На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции. См. также Преобразование Фурье Треугольная функция Функция Хевисайда Атомарная функция