Меню Главная Случайная статья Настройки Эвольвента Материал из https://ru.wikipedia.org Эвольвента (от лат. evolvens, родительный падеж evolventis «разворачивающий»[1][2]), или инволюта[3], или развёртка[2], плоской кривой ${\displaystyle L}$ — это плоская кривая ${\displaystyle L_{*}}$, по отношению к которой ${\displaystyle L}$ является эволютой[1][4][2]. То есть эвольвента — кривая, нормаль в каждой точке которой есть касательная к исходной кривой, иными словами, эвольвента — ортогональная траектория касательных к исходной кривой[2]. Эвольвента плоской кривой также может быть определена следующим образом: эвольвента — траектория конца натянутой нити, которая либо наматывается на исходную кривую, либо разматывается с неё (этим объясняется другое название эвольвенты «развёртка»)[2]. Последнее определение эвольвенты проясняет следующие свойства эвольвенты[2]: касательная в произвольной точке исходной кривой есть нормаль в соответствующей точке эвольвенты; всякая ортогональная траектория касательных к исходной кривой есть эвольвента; разность радиусов кривизны в двух точках эвольвенты равна длине дуги между соответствующими точками исходной кривой. У каждой кривой бесконечно много эвольвент[2], которые параллельны друг другу[3]. Содержание 1 Уравнения эвольвенты 2 Примеры эвольвенты 3 Применения 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Уравнения эвольвенты Если линия ${\displaystyle L}$ задана уравнением ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(s)}$ (где ${\displaystyle s}$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид ${\displaystyle {\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольный параметр[1][4]. Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты ${\displaystyle X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ ${\displaystyle Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ Примеры эвольвенты Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её параметрические уравнения имеют следующий вид: ${\displaystyle x=r(\cos(t)+t\sin(t)),}$ ${\displaystyle y=r(\sin(t)-t\cos(t)),}$ на комплексной плоскости уравнения упрощаются[5]: ${\displaystyle z=r(1-it)e^{it},}$ где ${\displaystyle t}$ — угол, a ${\displaystyle r}$ — радиус Применения В технике эвольвенту окружности используют: как профиль зуба для колёс зубчатой передачи с эвольвентным зацеплением; в спиральных вакуумных насосах. См. также Каустика Примечания 1 2 3 Эвольвента, 1988. 1 2 3 4 5 6 7 Эволюта и эвольвента, 1978. 1 2 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.1. Evolute, Involute, and Radial, p. 41. 1 2 Соколов Д. Д. Эвольвента, 1985, 1988. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter . The complex plane, p. 5. Литература Соколов Д. Д. Эвольвента // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 921—922. Эвольвента // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 640. Эволюта и эвольвента // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 29. Чаган — Экс-ле-Бен. 1978. 640 с. с илл., 22 л. илл., 6 л. карт. С. 556. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p. Zwikker C.[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.