Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение Лапласа Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение Лапласа (двойное экспоненциальное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть ${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,}$ где ${\displaystyle \alpha >0}$ — параметр масштаба, ${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$ — параметр сдвига. Содержание 1 Функция распределения 2 Математическое ожидание и дисперсия 3 Моменты 4 Характеристическая функция 5 Применение    Функция распределения По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения: ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.}$ Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}}$ Проверка свойств полученной функции: ${\displaystyle F(x)}$ не убывает, так как ${\displaystyle f(x)}$ положительна. ${\displaystyle F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2}}}$, следовательно, ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle F(x)}$ ограничена. Пределы на бесконечностях: ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2}}\lim _{x\to -\infty }e^{-\alpha |x-\beta |}=0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}=1.}$ Математическое ожиданиеидисперсия В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ при вычислениях необходимо разбить на ${\displaystyle (-\infty ,\beta )}$ и ${\displaystyle [\beta ,+\infty )}$. Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей (${\displaystyle \pm \infty }$) рассматриваются пределы вида ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }r(x)}$. В результате ${\displaystyle \operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta }$ ${\displaystyle \operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }xe^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }xe^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{\alpha (x-\beta )}dx-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }+{\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=\beta -{\frac {1}{2\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha }}=\beta }$ ${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$