Меню Главная Случайная статья Настройки Интегрирование по частям Материал из https://ru.wikipedia.org Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие равенства для неопределённого интеграла ${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$ или в другой записи ${\displaystyle \int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx}$ для определённого интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$ Предполагается, что нахождение интеграла ${\displaystyle \int v\,du}$ проще, чем ${\displaystyle \int u\,dv}$. В противном случае применение метода не оправдано. Содержание 1 Получение формул 1.1 Для неопределённого интеграла 1.2 Для определённого интеграла 1.3 Табличное интегрирование по частям 2 Примеры 3 Многомерный случай 4 См. также 5 Литература 6 Ссылки Получение формул Для неопределённого интеграла Функции ${\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}$ и ${\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}$ гладкие, следовательно, возможно дифференцирование: ${\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}$ Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства: ${\displaystyle \int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv}$ Операция интегрирования обратна дифференцированию: ${\displaystyle u\,v=\int v\,du+\int u\,dv}$ После перестановок: ${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$ Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования. Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм: ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}}$ Отсюда «следствие»: ${\displaystyle 0=1}$, что очевидно неверно. Для определённого интеграла В целом аналогично случаю неопределённого интеграла: ${\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}$ ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}$ ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$ Данные формулы справедливы, если каждая из функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ непрерывно дифференцируема на области интегрирования. Табличное интегрирование по частям Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице. Например, рассмотрим интеграл ${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$ Начнем перечислять в столбце D функцию ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ и ее последующие производные ${\displaystyle u^{(i)}}$ до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ и ее последующие первообразные ${\displaystyle v^{(n-i)}}$ до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D. Результат выглядит следующим образом: # i Знак D: производные u(i) I: интегралы v(ni) 0 + ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle \cos x}$ 1 ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle \sin x}$ 2 + ${\displaystyle 6x}$ ${\displaystyle -\cos x}$ 3 ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle -\sin x}$ 4 + ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cos x}$ Произведение значений в ряду i столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на шаге в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаг несет в себе исходный интеграл. для полного результата в шаге должен быть добавлен к предыдущим произведениям( ${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$ В итоге: ${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{шаг 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$ Примеры ${\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}$ ${\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}$ Иногда этот метод применяется несколько раз: ${\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}$ ${\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}$ Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций: ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}$ ${\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$ В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа: ${\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}$ ${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}$ ${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}$ Таким образом один интеграл выражается через другой: ${\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}$ Решив полученную систему, получаем: ${\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}$ ${\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}$ Многомерный случай Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а вместо производной частная производная. Пусть ${\displaystyle \Omega }$ открытое ограниченное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ гладкие функции на замыкании ${\displaystyle \Omega }$, то ${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}$ где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ внешняя нормаль к ${\displaystyle \partial \Omega }$, а ${\displaystyle n_{i}}$ её i-ая координата, i от 1 до n, ${\displaystyle \sigma }$ - мера на ${\displaystyle \partial \Omega }$. См. также Интеграл Интеграл Римана Преобразование Лежандра Методы интегрирования Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм. Литература Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс). Также см. Математический анализ#Библиография. Ссылки Математика для заочников и не только . Дата обращения: 11 мая 2011. Канал СЗТУ на сайте youtube.com . Дата обращения: 11 мая 2011.