Эльбасан Рашани родился в албанское семье, выходцев из Косова, в шведском городке Хиллерсторп. Рос же он в норвежских Крагерё и Бё. В 2010 году он стал игроком норвежского клуба «Одд». 10 апреля 2011 года Рашани дебютировал в норвежской Типпелиге, выйдя на замену на 87-й минуте гостевого поединка против «Стрёмсгодсета»[3]. 10 августа 2012 года он забил свой первый мяч на высшем уровня, отметившись голом престижа на 81-й минуте гостевой встречи против «Волеренги»[4].
24 июля 2014 года Рашани подписал 4-летний контракт с датским клубом «Брондбю». В начале 2016 года он на правах аренды перешёл в норвежский «Русенборг».
Своей игрой он смог заинтересовать руководство трондхеймцев и в конце 2016 года с ним подписали полноценный контракт.[5]
Карьера в сборной
13 ноября 2015 года Эльбасан Рашани дебютировал за сборную Косова в товарищеском матче против сборной Албании, заменив на 67-й минуте полузащитника Мергима Брахими. А уже на 70-й минуте этой игры он забил гол, выведя свою команду вперёд в счёте[6].
