Ru.Wikipedia.Org - Резольвента (гомологическая алгебра)

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Резольвента (гомологическая алгебра)
Материал из https://ru.wikipedia.org

Резольвента — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащий для вычисления функторов Ext и .

Проективная резольвента

Комплексом

$\cdots ~X_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}~\cdots ~{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}X_{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}C{\longrightarrow }0$ (*)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все

Наименьший индекс k, такой что все X_n при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а : X C — любая проективная резольвента C, то Extⁿ(C,A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(X,A) = Hⁿ(Hom_R(X,A)). Функторы Tor_n находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а : X C — любая проективная резольвента C, то Tor_n(C,A) изоморфен группе гомологий H_n(X_RA).

Инъективная резольвента

Комплексом (Y,) под R-модулем A называется последовательность:

$0{\longrightarrow }A{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}Y^{0}{\stackrel {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}Y^{1}{\stackrel {\delta ^{2}}{\longrightarrow }}~...~{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}Y^{n}{\stackrel {\delta ^{n+1}}{\longrightarrow }}Y^{n+1}{\longrightarrow }~\cdots$ (**)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hⁿ(Y) = kerⁿ⁺¹/imⁿ = 0 при n > 0 и H⁰(Y) = ker¹/im⁰ = ker¹ = im изоморфна A (считая ⁰ : 0 Y⁰), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а : A Y — любая инъективная резольвента A, то Extⁿ(C,A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(Hom_R(C,Y)).

Литература

Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М: ИЛ, 1960
Маклейн С. Гомология. — М: Мир, 1966