Меню Главная Случайная статья Настройки Функтор Ext Материал из https://ru.wikipedia.org Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики. Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от англ. extension — расширение. Содержание 1 Мотивировка: расширения модулей 1.1 Эквивалентность расширений 1.2 Сумма Баера 2 Определение 3 Свойства 4 Литература Мотивировка: расширения модулей Эквивалентность расширений Пусть A — абелева категория. Согласно теореме Митчелла о вложении[англ.], можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида ${\displaystyle 0\to X\to Y\to Z\to 0}$. Два расширения ${\displaystyle 0\to X\to Y\to Z\to 0}$ ${\displaystyle 0\to X\to Y'\to Z\to 0}$ называются эквивалентными, если существует морфизм ${\displaystyle g:Y\to Y'}$, делающий диаграмму ${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}$ коммутативной, где ${\displaystyle \operatorname {id} }$ — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом. Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)}$ и называют множеством классов расширений Z при помощи X. Сумма Баера Если даны два расширения ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}$ ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0}$ можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$ Мы рассматриваем фактор ${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\}}$, то есть факторизуем по соотношениям ${\displaystyle (f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')}$. Расширение ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0}$ где первая стрелка отображает ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$, а вторая отображает ${\displaystyle (e,e')}$ в ${\displaystyle g(e)=g'(e')}$, называется суммой Баера расширений E и E'. С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 B E A 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g. Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу. Определение Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom ${\displaystyle T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$. Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом: ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)}$. В частности, ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{0}=\operatorname {Hom} }$. Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ и определить ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)}$. Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно. Свойства Exti R(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен. Обратное утверждение также верно: если Ext1 R(A, B) = 0 для всех A, то Exti R(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext1 R(A, B) = 0 для всех B, то Exti R(A, B) = 0 для всех B, и A проективен. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0}$ при n 2 для абелевых групп A и B. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB}$ для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ для любой конечно порождённой абелевой группы A. Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, ${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S^{-1}A,S^{-1}B)}$. Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n: ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.}$ Для каждого простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца R, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0}$. Для каждого максимального идеала ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ кольца R, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0}$. Литература Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.