Меню Главная Случайная статья Настройки Ряд Кемпнера Материал из https://ru.wikipedia.org Ряд Кемпнера (англ. Kempner series[1][2]:31–33) — модификация гармонического ряда, образованная из него путём удаления всех членов, знаменатель которых, будучи выраженным в десятичной системе счисления, содержит цифру 9. Обозначается ${\displaystyle {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}}$, где штрих указывает на то, что ${\displaystyle n}$ принимает только те значения, в десятичной записи которых нет девяток. Ряд был впервые изучен О. Дж. Кемпнером[англ.] в 1914 году[3]. Свойства этого ряда контринтуитивны[1], поскольку, в отличие от гармонического ряда, он сходится. Кемпнер доказал, что сумма этого ряда меньше 90. Бейли[4] вычислил, что с точностью до 20 знаков после запятой эта сумма равна 22,92067661926415034816 (последовательность A082838 в OEIS). Сходимость ряда можно наглядно обосновать тем, что большинство больших целых чисел содержат все цифры от 0 до 9. Например, случайное 100-значное целое число, скорее всего, содержит по крайней мере одну цифру «9», что исключает его из приведённой выше суммы. Шмельцер и Бейли[5] нашли эффективный алгоритм для решения более общей задачи о любой удаляемой последовательности цифр. Например, сумма ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ не содержит ни одного вхождения «42», равна примерно 228,44630415923081325415. Другой пример: сумма ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, где в ${\displaystyle n}$ не встречается строки «314159» — примерно 2302582,33386378260789202376 (с округлением до последней цифры). Примечания 1 2 Weisstein, Eric W. Kempner series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. — Princeton : Princeton University Press, 2003. — ISBN 978-0-691-09983-5. Kempner, A. J. (Февраль 1914). A Curious Convergent Series. American Mathematical Monthly. 21 (2). Washington, DC: Mathematical Association of America: 48–50. doi:10.2307/2972074. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074.