Меню Главная Случайная статья Настройки Ряд Котельникова Материал из https://ru.wikipedia.org Ряд Котельникова[1], Ряд Уиттекера—Котельникова— Шеннона[2] — ряд, служащий для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих значений (отсчётов). Содержание 1 Интерполяционная формула 1.1 Граничные условия 1.2 Выбор частоты дискретизации 2 Интерполяция как сумма свёртки 3 Сходимость 4 Примечания Интерполяционная формула Теорема Котельникова гласит, что при некоторых ограничивающих условиях функция ${\displaystyle x(t)}$ может быть точно восстановлена после её дискретизации, ${\displaystyle x[n]=x(n\Delta t),}$ рядом Котельникова: ${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta t}}(t-n\Delta t)\right],}$ где ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ — sinc-функция, ${\displaystyle \Delta t=1/f_{s}}$ — период дискретизации, ${\displaystyle f_{s}}$ — частота дискретизации. Граничные условия Есть два граничных условия, которые должны быть удовлетворены, для того чтобы выполнялась интерполяционная формула[1]: Спектр сигнала ${\displaystyle x(t)}$ должен быть финитен (ограничен по частоте), то есть преобразование Фурье от функции ${\displaystyle x(t)}$ должно обладать следующим свойством: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=X(f)=0}$ для ${\displaystyle |f|\geqslant B.}$ Это возможно только в том случае, когда сигнал ${\displaystyle x(t)}$ нефинитен (неограничен по времени). Частота дискретизации ${\displaystyle f_{s}}$ должна в два раза или более раз превышать значение ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle f_{s}\geqslant 2B}$, или что эквивалентно: ${\displaystyle T\leqslant {\frac {1}{2B}},}$ где ${\displaystyle T}$ — период дискретизации. Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — алиасинг. Выбор частоты дискретизации Так как реальные сигналы ограничены по времени (финитны), то они имеют бесконечный спектр, поэтому в качестве максимальной частоты в спектре приходится выбирать некоторую частоту ${\displaystyle f_{m}}$, определяющую эффективную ширину спектра. Поэтому на практике частоту дискретизации выбирают с некоторым запасом, например, ${\displaystyle f_{d}>3B}$[1] или ${\displaystyle f_{d}=2,5...5~B}$[3]. Также на практике эффект наложения спектров может быть уменьшен сглаживанием исходного аналогового сигнала путём фильтрации самых верхних его частот. При этом такое сглаживание (англ. anti-aliasing) должно быть выполнено до дискретизации аналогового сигнала[4]. Фильтры нижних частот, сглаживающие сигнал перед дискретизацией, называются антиалиасинговыми[5]. Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=0}$ только, начиная с ${\displaystyle |f|>B,}$ что имеет место для неограниченного по времени синусоидального сигнала с несущей частотой ${\displaystyle f_{0},}$ у которого в спектре содержатся лишь две составляющие с частотами ${\displaystyle -f_{0}}$ и ${\displaystyle f_{0},}$ то в этом случае спектр ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}}$ равен нулю для ${\displaystyle |f|}$ строго больших ${\displaystyle f_{0}=B.}$ Поэтому в этом случае необходимо, чтобы частота дискретизации строго превышала удвоенную максимальную частоту сигнала ${\displaystyle f_{s}>2B}$[6]. Однако такое строгое неравенство требуется лишь в том случае, когда значение спектра сигнала на максимальной частоте не равно нулю. Если на максимальной частоте спектр сигнала равен нулю, то необходимость в строгом неравенстве отпадает. Интерполяция как сумма свёртки Интерполяционная формула выведенная в теореме Котельникова указывает на то что, она также может быть выражена как свёртка «гребёнки» Дирака с sinc-функцией: ${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-n\Delta t)\right)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\pi t}{\Delta t}}\right).}$ Это эквивалентно фильтрации «гребёнкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра. Сходимость Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии: ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$ Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность ${\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ принадлежит к любому из ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\;\mathbb {C} )}$-пространств, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$, что эквивалентно условию: ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}$ Это условие достаточно, но не необходимо. Примечания 1 2 3 Мазор Ю. Л. и др. Энциклопедия Радиотехника, 2002. — C. 511—513. Басараб М. А., Кравченко М. Ф., Матфеев В. А. Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии, 2008. — С. 223. Васин В. А. и др. Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 29. Рафаэл Гонсалес, Ричард Вудс. Цифровая обработка изображений, 2012. — С. 266. Нефедов В. И., Сигов А. С. Теория электросвязи. Учебник для СПО. — C. 382. Рафаэл Гонсалес, Ричард Вудс. Цифровая обработка изображений, 2012. — С. 266—267.