Ru.Wikipedia.Org - Ряд Тейлора

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Ряд Тейлора
Материал из https://ru.wikipedia.org

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Содержание

Определение

1. Многочленом Тейлора функции

f(x)

вещественной переменной

x

, дифференцируемой

k

раз в точке

a

, называется конечная сумма

\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при

x-a=h\to 0

верно

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)

При записи суммы использованы обозначение

f^{(0)}(x)=f(x)

и соглашение о произведении по пустому множеству:

0!=1

(x-a)^{0}=1

.

2. Рядом Тейлора в точке

a

функции

f(x)

вещественной переменной

x

, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки

a

, называется формальный степенной ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

с общим членом

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}

, зависящим от параметра

a

Другими словами, рядом Тейлора функции

f(x)

в точке

a

называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена

(x-a)

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции

f(x)

в окрестности точки

a

не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки

a

.

3. Рядом Тейлора в точке

a

функции

f(z)

комплексной переменной

z

, удовлетворяющей в некоторой окрестности

U\subseteq \mathbb {C}

точки

a

условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса

R>0

, что в

D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U

ряд сходится к функции

f(z)

.

4. В случае

a=0

ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция

f(x)

вещественной переменной

x

называется аналитической в точке

x=a

, если существуют такой радиус

R>0

и такие коэффициенты

c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,

k=0,1,2,\dots \,

, что

f(x)

может быть представлена в виде сходящегося на интервале

(a-R;a+R)

степенного ряда:

\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,

, то есть

\forall x\in (a-R;a+R)

\Rightarrow

\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)

.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд

\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}

на любом компактном подмножестве

K

области сходимости

D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}

допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в

k

-ю производную функции

\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}

подставить

z=a

, то получится

{c_{k}}\cdot k!

.

Таким образом, для аналитической в точке

a

функции

f(z)

для некоторого

R>0

всюду в

D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}

является верным представление

f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}

.

Следствие. Функция

f(x)

вещественной переменной

x

является аналитической в точке

a

тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром

a

на некотором открытом интервале, содержащем точку

a

.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке

a

функции

f(x)

вещественного переменного

x

её ряд Тейлора

\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

сходиться к

f(x)

всюду на каком-нибудь интервале

(a-R;a+R)

, то есть представима ли

f(x)

этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности

a

.

Примеры. Функции вещественной переменной

f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,

f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,

f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,

являются бесконечно дифференцируемыми в точке

x=0

, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром

a=0

тождественно равны нулю. Однако, для любого

R>0

в окрестности

(-R;+R)

точки

a=0

найдутся точки, в которых функции отличны от

0

. Таким образом, эти функции не являются в точке

a=0

аналитическими.

Доказательство проведём для функции

f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,

, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция

\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)

, является аналитической функцией комплексной переменной для всех

z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}

.

Для

z\neq 0

очевидно, что

{\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)

.

Функция

f(x)

для

x\in \mathbb {R}

— это «исправленная» функция

\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)

x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}

, дополненная пределами слева

\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0

и справа

\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0

в точке

x=0

.

Найдём производную функции

f(x)

в точке

x=0

. По определению:

f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}

.

Поскольку для

x\in (0;1)

выполняется

0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}

, то докажем, что для произвольного

\alpha >0

верно

\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0

.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

не приводит к результату.

Выполним замену переменной:

{\frac {1}{x}}=t

\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}

.

Пусть

k=\lceil \alpha \rceil

. Применяя правило Лопиталя

k

раз, в числителе получим либо (при

\alpha =k

) константу

k!

, либо (при

\alpha <k

) бесконечно малую

\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0

Таким образом,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0

Найдём (для

x\neq 0

) несколько начальных производных функции

f(x)

f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение

f(x)

на сумму целых отрицательных степеней

x

. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом,

\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0

.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные

f(x)

в точке

x=0

, обнаруживаем, что все производные в точке

x=0

равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке

a

) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке

a

) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция

f(x)={\frac {1}{1-x}}

может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом:

{\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}

(это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция

{\frac {1}{1-x}}

определена для всех действительных чисел, кроме точки

x=1

, то ряд

\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}

сходится только при условии

|x|<1

.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию

e^{x}

. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен

R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty

. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси

x

для любого параметра

a

.

4. От параметра — точки разложения

a

ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного

a

) в ряд Тейлора функцию

f(x)={\frac {1}{1-x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}

.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента

x

, при любых значениях

a

(кроме

a=1

) имеет один и тот же вид.

Действительно,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}

Область сходимости ряда может быть задана неравенством

\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1

. И теперь эта область зависит от

a

. Например, для

a=0

ряд сходится при

x\in (-1;1)

. Для

a=0{,}5

ряд сходится при

x\in (0;1)

.

Формула Тейлора

Предположим, что функция

f(x)

имеет все производные до

n+1

-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку

x=a

. Найдем многочлен

{P_{n}}(x)

степени не выше

n

, значение которого в точке

x=a

равняется значению функции

f(x)

в этой точке, а значения его производных до

n

-го порядка включительно в точке

x=a

равняются значениям соответствующих производных от функции

f(x)

в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид

{P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}

, то есть это

n

-я частичная сумма ряда Тейлора функции

f(x)

. Разница между функцией

f(x)

и многочленом

{P_{n}}(x)

называется остаточным членом и обозначается

{R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)

. Формула

f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)

называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем

n+1

раз в рассматриваемой окрестности точки

a

. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную на отрезке с концами $a$ и $x$ , то для произвольного положительного числа $p$ найдётся точка $\xi$ , лежащая между $a$ и $x$ , такая, что

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формыостаточного члена

В форме Лагранжа:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1

В форме Коши:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

В интегральной форме:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt