Меню Главная Случайная статья Настройки Функция Фабиуса Материал из https://ru.wikipedia.org Функция Фабиуса — классический пример гладкой, но не аналитической функции, основанный на бесконечной сумме случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Альтернативные определения 4 Ссылки Определение Функция Фабиуса определена на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ как функция распределения случайной величины, представляющей собой сумму ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n}}$, где ${\displaystyle \xi _{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с равномерным распределением на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$. Свойства Функция Фабиуса — бесконечно дифференцируемая, но не является аналитической ни в одной точке: в двоично-рациональных точках её ряд Тейлора сводится к многочлену (не совпадающему с самой функцией), а во всех прочих точках — расходится. Функция Фабиуса ${\displaystyle f(x)}$ обладает симметрией ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ на всём отрезке ${\displaystyle [0,1]}$. Она также удовлетворяет функционально-дифференциальному уравнению[англ.] ${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1/2]}$. Используя функционально-дифференциальное уравнение, можно продолжить функцию на все положительные действительные аргументы. В результате получается последовательность отрезков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения в точности в соответствии с последовательностью Морса — Туэ. Значение функции Фабиуса при любом двоично-рациональном значении аргумента — рациональное число. Альтернативные определения Функцию неоднократно переоткрывали. Яп Фабиус ввёл приведённое выше определение в статье 1966 года. Ещё в статье 1935 года ту же самую функцию описали как преобразование Фурье бесконечного произведения ${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$. Также функция Фабиуса совпадает с атомарной функцией up(x), введённой Владимиром Рвачёвым, при соответствующем сдвиге аргумента. Ссылки Fabius, Jaap (1966), A probabilistic example of a nowhere analytic ${\displaystyle C^{\infty }}$-function, Zeitschrift fr Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 5 (2): 173–174, doi:10.1007/bf00536652, MR 0197656, S2CID 122126180 В. Л. Рвачёв, В. А. Рвачёв, «Неклассические методы теории приближений в краевых задачах», Наукова думка, Киев (1979). В. А. Рвачев. Финитные решения функционально-дифференциальных уравнений и их применения // УМН. — 1990. — Т. 47. — С. 77–103. Последовательность A272755 в OEIS: Числители значений функции Фабиуса F(1/2n) = Numerators of the Fabius function F(1/2^n).