Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Сапог Шварца (от нем. Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.
Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой.
Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.
Содержание
История
Конструкция была предложена в 1890 году Германом Шварцем как контрпример к ошибочному определению площади поверхности в книге Жозефа Серре[1].
Независимо от Шварца, тот же пример был найден Джузеппе Пеано.
Его учитель Анджело Дженокки[итал.] также обсуждал этот вопрос со Шварцем.
Дженокки проинформировал Шарля Эрмита, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе.
После этого Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал заметку Шварца во втором издании своих лекций.[2]
Конструкция
Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на равных частей.
В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные -угольники, причём соседние -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол чтобы вершины вышележащего -угольника находились над серединами сторон нижележащего -угольника.
Затем вершины -угольников соединяются так, что образуется поверхность из треугольников; каждый её «слой» — антипризма.
Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.
Если , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми,
то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.
Свойства- Простой подсчёт показывает, что
- при площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
- при площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
- Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.
Примечания
- J. A. Serret, Cours de calcul differentiel et integral (станица 296 первого издания и страница 298 второго)
- Schwarz, H. A., «Sur une dfinition errone de l’aire d’une surface courbe»,
Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309—311
Литература
|
|