Меню Главная Случайная статья Настройки Сегмент (геометрия) Материал из https://ru.wikipedia.org Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой[1]. Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга. Содержание 1 Характеристики 2 Сегмент круга 3 Сегмент параболы 4 Сегмент эллипса 5 Другие виды плоских сегментов 5.1 Площадь 5.2 Длина дуги 6 Примечания 7 Литература Характеристики Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы. Сегмент круга Длина хорды ${\displaystyle c}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R}$ и высоты ${\displaystyle h}$ вычисляется по теореме Пифагора: ${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$ Площадь ${\displaystyle S}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R,}$ опирающегося на центральный угол ${\displaystyle \textstyle \theta }$ (в радианах)[2]: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )}$ Сегмент параболы Архимед в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Сегмент эллипса Пусть эллипс задан каноническим уравнением: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой ${\displaystyle x,}$ можно определить по формуле[3]: ${\displaystyle S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).}$ Другие виды плоских сегментов Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели. Площадь Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой ${\displaystyle y=f(x)}$, пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна: ${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл: ${\displaystyle S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2}$ Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса ${\displaystyle R,}$ равна ${\displaystyle 3\pi R^{2},}$ то есть втрое больше площади порождающего круга[4]. Длина дуги Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле ${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx}$ Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование. Примечания Сегмент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 1100—1101. Элементарная математика, 1976, с. 512. Литература