Меню Главная Случайная статья Настройки Сходимость по распределению Материал из https://ru.wikipedia.org Сходимость по распределению — вид сходимости случайных величин: последовательность случайных величин ${\displaystyle (X_{n=1}^{\infty })}$ сходится по распределению к случайной величине ${\displaystyle X}$, если распределения ${\displaystyle P_{n}}$ соответствующих элементов ${\displaystyle X_{n}}$ слабо сходятся к распределению ${\displaystyle P}$ величины ${\displaystyle X}$[1]. Используемые обозначения: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X}$, ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$. Случайная величина ${\displaystyle X}$, определённая на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ индуцирует распределение (вероятностную меру) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1})}$; соответственно, последовательность случайных величин ${\displaystyle (X_{n=1}^{\infty })}$ сходится по распределению к случайной величине ${\displaystyle X}$, если для любой непрерывной ограниченной функции ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$. С использованием теоремы о замене меры в интеграле Лебега, определение эквивалентно можно сформулировать как сходимость для математических ожиданий для любой непрерывной ограниченной функции ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)}$, иногда это определение используется как основное[2]. Другое эквивалентное определение — величины ${\displaystyle X_{n}}$ сходятся по распределению к ${\displaystyle X}$, если их функции распределения ${\displaystyle F_{X_{n}}}$ сходятся к функции распределения предела ${\displaystyle F_{X}}$ во всех точках непрерывности: ${\displaystyle F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)}$. Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)}$ почти всюду, то ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$. Обратное, вообще говоря, неверно. Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимость почти наверное и сходимость в среднем (то есть в ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 1}$)) влечёт сходимость по распределению: ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$; обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, сходимость по распределению может быть рассмотрена как самая слабая форма сходимости случайных величин. Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции. Теорема Леви о непрерывности связывает сходимость случайных величин по распределению с поточечной сходимостью их характеристических функций. Примечания Биллингсли, 1977, с. 38. Математическая энциклопедия, 1985. Литература Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — Стб. 313. — 1248 стб. : ил. — 147 300 экз.— Перевод на английский: Convergence in distribution  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.