Меню Главная Случайная статья Настройки След матрицы Материал из https://ru.wikipedia.org След матрицы — сумма всех элементов главной диагонали квадратной матрицы, то есть если ${\displaystyle a_{ij}}$ — элементы квадратной матрицы ${\displaystyle A}$, то её след ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{i}a_{ii}}$. Операция взятия следа отображает пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)[1]. В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$ (от англ. trace — след), и ${\displaystyle \operatorname {Sp} A}$ (от нем. Spur — след). В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: ${\displaystyle \operatorname {tr} A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A}$. Содержание 1 Определение 2 Свойства 2.1 Геометрическое свойство 3 См. также 4 Примечания 5 Ссылки Определение Под следом квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ понимают: ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn},}$ где ${\displaystyle a_{ii}}$ — элементы главной диагонали: ${\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\color {red}{a_{11}}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {red}{a_{nn}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{ii}}}$. Свойства Линейность ${\displaystyle \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} A+\beta \operatorname {tr} B}$. ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$. Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: ${\displaystyle \operatorname {tr} (C^{-1}AC)=\operatorname {tr} A}$. ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{\mathrm {T} }}$, где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ означает операцию транспонирования. ${\displaystyle \ln \det A=\operatorname {tr} \ln A}$. Если ${\displaystyle A\otimes B}$ — тензорное произведение матриц A и След матрицы равен сумме её собственных значений. Определитель квадратной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие ${\displaystyle n}$. Например ${\displaystyle \det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\cdot \operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)}$. Геометрическое свойство ${\displaystyle \det(E+G\varepsilon )=1+\operatorname {tr} G\varepsilon +o(\varepsilon )}$, где Следствия: ${\displaystyle \det \exp(G\alpha )=1+\operatorname {tr} G\alpha }$ для малых Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми. См. также След (теория полей) Примечания Лисовский Ф. В. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076. Ссылки