Меню Главная Случайная статья Настройки Солитон Материал из https://ru.wikipedia.org Солитон — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде. Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех. Кроме того, в отличие от гармонических волн, классические солитоны помимо переноса энергии осуществляют также перенос вещества (сдвиг в направлении своего движения на конечное расстояние)[1]. История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»[2][3][4]. Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[5]. Свойство солитонов переносить вещество предложено использовать в качестве одного из механизмов возбуждения электрических токов в плазме[6] и разделения вещества и антивещества в ранней Вселенной[7]. Солитоны бывают различной природы: на поверхности жидкости[8] (первые солитоны, обнаруженные в природе[9]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[10] ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[11] гравитационные солитоны в слоистой жидкости[12] солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[13] можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы[14] солитоны в нелинейно-оптических материалах[15][16] солитоны в воздушной среде[17] Содержание 1 Математическая модель 1.1 Уравнение Кортевега — де Фриза 1.2 Нелинейное уравнение Шрёдингера 2 См. также 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Математическая модель Уравнение Кортевега — де Фриза Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза: ${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$ Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон: ${\displaystyle u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\mathrm {ch} ^{2}\,\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}}}$ где ${\displaystyle 2\varkappa ^{2}}$ — амплитуда солитона, ${\displaystyle \varphi }$ — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ${\displaystyle \varkappa ^{-1}}$. Такой солитон движется со скоростью ${\displaystyle v=4\varkappa ^{2}}$. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее[18]. В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде ${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x,t)}$ где матрица ${\displaystyle A(x,t)}$ даётся выражением ${\displaystyle A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}}{\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}}\mathrm {e} ^{8\varkappa _{n}^{3}t-(\varkappa _{n}+\varkappa _{m})x}}$ Здесь ${\displaystyle \beta _{n},n=1,\dots ,N}$ и ${\displaystyle \varkappa _{n}>0,n=1,\dots ,N}$ — произвольные вещественные постоянные. Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера ${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)}$ с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$, убывающим на бесконечности быстрее чем ${\displaystyle |x|^{-1-\varepsilon }}$, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени ${\displaystyle t}$. Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при ${\displaystyle t\to -\infty }$ решение имеет асимптотический вид ${\displaystyle N}$ солитонов, тогда при ${\displaystyle t\to +\infty }$ оно также имеет вид ${\displaystyle N}$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы ${\displaystyle k}$-го солитона равен ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}=\sum _{\stackrel {n=1}{n\neq k}}^{N}\Delta \varphi _{nk}}$ Пусть ${\displaystyle n}$-й солитон движется быстрее, чем ${\displaystyle m}$-й, тогда ${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}=\Delta \varphi _{kn}={\frac {1}{\varkappa _{n}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$ ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}=\Delta \varphi _{nk}=-{\frac {1}{\varkappa _{m}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|}$ то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину ${\displaystyle \Delta \varphi _{n}^{+}}$, а фаза более медленного — уменьшается на ${\displaystyle \Delta \varphi _{k}^{-}}$, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном. Нелинейное уравнение Шрёдингера Для нелинейного уравнения Шрёдингера: ${\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+\nu \vert u\vert ^{2}u=0}$ при значении параметра ${\displaystyle \nu >0}$ допустимы уединённые волны в виде: ${\displaystyle u\left(x,t\right)=\left({\sqrt {\frac {2\alpha }{\nu }}}\right)\mathrm {ch} ^{-1}\left({\sqrt {\alpha }}(x-Ut)\right)e^{i(rx-st)},}$ где ${\displaystyle r,s,\alpha ,U}$ — некоторые постоянные, связанные соотношениями: ${\displaystyle U=2r}$ ${\displaystyle s=r^{2}-\alpha }$ Дромион — решение уравнения Дейви-Стюартсона[англ.][19]. См. также Модель Френкеля — Конторовой Ионно-звуковые солитоны Волновой пакет Кинк Уравнение синус-Гордона Уравнения Дэви — Стюартсона Уравнение Кадомцева — Петвиашвили Уравнение Габитова — Турицына Примечания F. M. Trukhachev, N. V. Gerasimenko, M. M. Vasiliev, O. F. Petrov. Matter transport as fundamental property of acoustic solitons in plasma // Physics of Plasmas. — 2023-11-01. — Т. 30, вып. 11. — ISSN 1070-664X. — doi:10.1063/5.0172462. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII) J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи (недоступная ссылка) Ф. М. Трухачев, М. М. Васильев, О. Ф. Петров. Солитонные токи (обзор) (рус.) // Теплофизика высоких температур. — 2020. — Т. 58, вып. 4. — С. 563–583. — ISSN 0040-3644. — doi:10.31857/S0040364420040158. Alexander E. Dubinov, Xenia I. Lebedeva. Ambiplasma separation into matter and antimatter by a train of baryon-acoustic solitons in the problem of the baryon asymmetry of the Universe // Chaos, Solitons & Fractals. — 2021-11-01. — Т. 152. — С. 111391. — ISSN 0960-0779. — doi:10.1016/j.chaos.2021.111391. Дж. Л. Лэм. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с. Солитон — статья из Физической энциклопедии Н. Н. Розанов. Мир лазерных солитонов // Природа. — 2007. — № 6. Архивировано 24 апреля 2013 года. А. И. Маймистов. Солитоны в нелинейной оптике // Квантовая электроника. — 2010. — Т. 40, № 9. — С. 756—781. Andrei I Maimistov. Solitons in nonlinear optics (англ.) // Quantum Electronics. — 2010. — Vol. 40. — P. 756. — doi:10.1070/QE2010v040n09ABEH014396. Архивировано 9 марта 2011 года. В стране и мире - Телеканал «Звезда»  (неопр.). Дата обращения: 5 апреля 2015. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года. Сазонов С. В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1—22. Источник  (неопр.). Дата обращения: 17 мая 2018. Архивировано 31 декабря 2019 года. Литература Барьяхтар В. Г., Захаров В. Е., Черноусенко В. М. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. — 472 с. — 1000 экз. — ISBN 5-12-001120-9. Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner. Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306. Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — doi:10.1103/Physics.6.15. Ссылки Примеры типов солитонов А может, все мы состоим из солитонов? СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»