Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение Кадомцева — Петвиашвили Материал из https://ru.wikipedia.org В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как: ${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$ где ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y. Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо[1][2][3][4][5]. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния[англ.], как и нелинейное уравнение Шрёдингера[6]. Содержание 1 История 2 Связь с физикой 3 Ограниченность 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки История Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x. Связь с физикой Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется ${\displaystyle \lambda =+1}$; если же поверхностное натяжение сильное, то ${\displaystyle \lambda =-1}$. Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения). Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна. Ограниченность Для ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$, типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны ${\displaystyle O(1/\epsilon )}$, что даёт сингулярный предельный режим в виде ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$. Предел ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ называется бездисперсионным[англ.] пределом.[8][9][10] Если мы также предположим, что решения не зависят от y при ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$, то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса: ${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.}$ Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — ${\displaystyle O(\epsilon )}$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона[англ.]. См. также Уравнение Новикова — Веселова[англ.] Проблема Шоттки[англ.] Бездисперсионное уравнение Кадомцева — Петвиашвили[англ.] Примечания Абдул-Маджид Вазваз. Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh–coth method (англ.) // Applied Mathematics and Computation. — 2007-07. — Vol. 190, iss. 1. — P. 633–640. — doi:10.1016/j.amc.2007.01.056. Архивировано 15 мая 2023 года. И Ченг, И-шен Ли. The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions (англ.) // Physics Letters A. — 1991-07. — Vol. 157, iss. 1. — P. 22–26. — doi:10.1016/0375-9601(91)90403-U. Архивировано 1 апреля 2022 года. Вэнь-Сюй Ма. Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) // Physics Letters A. — 2015-09. — Vol. 379, iss. 36. — P. 1975–1978. — doi:10.1016/j.physleta.2015.06.061. Архивировано 17 октября 2022 года. Юдзи Кодама. Young diagrams and N -soliton solutions of the KP equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004-11-19. — Т. 37, вып. 46. — С. 11169–11190. — ISSN 1361-6447 0305-4470, 1361-6447. — doi:10.1088/0305-4470/37/46/006. Шу-фанг Дэн, Дэн-юань Чэнь, Да-цзюнь Чжан. The Multisoliton Solutions of the KP Equation with Self-consistent Sources (англ.) // Journal of the Physical Society of Japan. — 2003-09-15. — Vol. 72, iss. 9. — P. 2184–2192. — ISSN 1347-4073 0031-9015, 1347-4073. — doi:10.1143/JPSJ.72.2184. Архивировано 22 октября 2022 года. Марк Дж. Абловиц, Харви Сегур. Solitons and the Inverse Scattering Transform (англ.). — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981-01. — ISBN 978-0-89871-174-5, 978-1-61197-088-3. Херв Леблонд. KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV Burgers model (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002-11-29. — Vol. 35, iss. 47. — P. 10149–10161. — ISSN 0305-4470. — doi:10.1088/0305-4470/35/47/313. Архивировано 20 октября 2022 года. Захаров, В. Е. Бесдисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях // Сингулярные пределы дисперсионных волн. — Бостон : Springer, 1994. — P. 165–174. — ISBN 0-306-44628-6. Литература Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [англ.]. — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1. Ссылки Weisstein, Eric W. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Джони Биондини и Дмитрий Пелиновский. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.). Scholarpedia. Бернар Деконинк. The KP page (англ.). University of Washington, Department of Applied Mathematics. Дата обращения: 20 октября 2022. Архивировано из оригинала 6 февраля 2006 года.