Меню Главная Случайная статья Настройки Дисперсия случайной величины Материал из https://ru.wikipedia.org Дисперсия случайной величины — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается ${\displaystyle D[X]}$ в русской литературе и ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ или ${\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}}$. Квадратный корень из дисперсии, равный ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения. Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на ${\displaystyle k}$ стандартных отклонений, составляет менее ${\displaystyle 1/k^{2}}$. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства 4 Условная дисперсия 5 Пример 6 См. также 7 Примечания 8 Литература Определение Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Пусть ${\displaystyle X}$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],}$ где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание[1][2]. Замечания Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретная, то ${\displaystyle D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2}},}$ ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}},}$ где ${\displaystyle x_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-ое значение случайной величины, ${\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}$ — вероятность того, что случайная величина принимает значение ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle n}$ — количество значений, которые принимает случайная величина. Пусть ${\displaystyle Y}$ - случайная величина, независимая от ${\displaystyle X}$, но с тем же самым распределением. Тогда ${\displaystyle P(Y=x_{i})=p_{i}}$, ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]}$, ${\displaystyle D[Y]=D[X]}$ и ${\displaystyle D[X-Y]=D[X]+D[Y]=2D[X]}$ ${\displaystyle D[X-Y]=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]-\mathbb {E} [X-Y]^{2}=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}$ Сопоставляя две эти формулы, получаем нужное равенство. Если случайная величина ${\displaystyle X}$ непрерывна, то: ${\displaystyle D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx}}$ ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}}$, где ${\displaystyle f(x)}$ — плотность вероятности случайной величины. В силу линейности математического ожидания справедлива формула: ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}}$ Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. Дисперсия может быть бесконечной. Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов ${\displaystyle U(t)}$: ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}.}$ Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности. Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины ${\displaystyle X}$ по последовательности реализаций этой случайной величины: ${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$ имеет вид: ${\displaystyle {\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$, где ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ — выборочное среднее (несмещённая оценка ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$). Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение ${\displaystyle {\overline {S}}^{2}}$ необходимо умножить на ${\displaystyle {\frac {n}{n-1}}}$. Несмещённая оценка имеет вид: ${\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$ Свойства Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: ${\displaystyle D[X]\geqslant 0}$[3]; Если случайная величина равна константе ${\displaystyle C}$, то её дисперсия равна нулю: ${\displaystyle D[C]=0}$[4]; Дисперсия суммы двух случайных величин равна: ${\displaystyle D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}$, где ${\displaystyle {\text{cov}}(X,Y)}$ — их ковариация[5]; Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство[6]: ${\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}c_{i}c_{j}{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}$, где ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$. В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин: ${\displaystyle D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]}$, ${\displaystyle D[X_{1}-\ldots -X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]}$, так как их ковариации равны нулю[5]; ${\displaystyle D\left[CX\right]=C^{2}D[X]}$; ${\displaystyle D\left[C+X\right]=D[X]}$[3]. Условная дисперсия