Меню Главная Случайная статья Настройки Стохастический интеграл Материал из https://ru.wikipedia.org Стохастический интеграл — интеграл вида ${\displaystyle \int f(t)dy(t)}$, где ${\displaystyle {y(t),t\in T}}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса[1]. Содержание 1 Стохастический интеграл от детерминированной функции 2 Стохастический интеграл от стохастического процесса 3 Интеграл Стратоновича 4 Интеграл Ито 5 Интеграл Винера 6 См. также 7 Примечания 8 Литература Стохастический интеграл от детерминированной функции Введем гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, со скалярным произведением ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}}$ и среднеквадратичной нормой ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}}$. Здесь ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т. д.[2] Пусть ${\displaystyle T}$ — конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]\subseteq T}$ задана стохастическая аддитивная функция ${\displaystyle \eta (\Delta )}$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, обладающая свойствами: Для любых непересекающихся ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$, величины ${\displaystyle \eta (\Delta _{1})}$,${\displaystyle \eta (\Delta _{2})}$ являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: ${\displaystyle \left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0}$ Если ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$ являются непересекающимися полуинтервалами и ${\displaystyle \Delta _{1}\cup \Delta _{2}}$ составляет полуинтервал, то ${\displaystyle \eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})}$ ${\displaystyle \left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|}$. Здесь ${\displaystyle \left\|\right\|}$ — норма в гильбертовом пространстве, ${\displaystyle \left|\Delta \right|=t-s}$ при ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]}$. Пусть ${\displaystyle \varphi (t)}$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty }$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$, аппроксимирующих функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$ так, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0}$, Стохастическим интегралом ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)}$ от детерминированной функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ называется предел[3] ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)}$ Стохастический интеграл от стохастического процесса Рассмотрим интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),}$ где ${\displaystyle {\omega (t),t\in T}}$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал ${\displaystyle [0;T]}$ точками ${\displaystyle 0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T}$ на ${\displaystyle N}$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений[4]: ${\displaystyle I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ или ${\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].}$ Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса[5] ${\displaystyle I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.}$ Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру ${\displaystyle \lambda }$ сумму интегралов ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ следующей формулой[5]: ${\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],}$ при ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant 1}$. Интеграл ${\displaystyle I_{0}}$ соответствует интегралу Ито, а ${\displaystyle I_{0,5}}$ совпадает с интегралом Стратоновича. Интеграл Стратоновича Интеграл Стратоновича имеет вид[6] ${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$ Интеграл Ито Интеграл Ито имеет вид[5] ${\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$ Его основные свойства[5]: ${\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).}$ ${\displaystyle cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).}$ Здесь ${\displaystyle m(t)}$ — функция среднего значения, ${\displaystyle r(t)}$ — ковариационная функция. Интеграл Винера Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число ${\displaystyle \alpha }$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции ${\displaystyle x(t,\alpha )}$. Интеграл вида ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )}$ называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства ${\displaystyle x(0,\alpha )=0}$[7]: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.}$ Его основные свойства: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0}$[8]. ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt}$[9]. См. также Стохастическое исчисление Ито Стратонович, Руслан Леонтьевич Примечания Острём, 1973, с. 68. Розанов, 1982, с. 57. Розанов, 1982, с. 64. Острём, 1973, с. 70. 1 2 3 4 Острём, 1973, с. 71. Острём, 1973, с. 72. Винер, 1961, с. 20. Винер, 1961, с. 21. Винер, 1961, с. 24. Литература Острём К. Ю.[англ.]. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.