Суньига начал карьеру в мексиканскомПотос УАЭМ. 3 августа 2019 года в матче против «Коррекаминос» он дебютировал в Ассенсо MX[1]. В этом же поединке Хосе забил свой первый гол за Потрос УАЭМ. В начале 2020 года Суньига перешёл в «Дорадос де Синалоа». 22 января в матче Кубка Мексики против «Гвадалахары» он дебютировал за новую команду[2]. 31 января в поединке против «Атланте» Хосе забил свой первый гол за «Дорадос де Синалоа»[3].
В начале 2023 года Суньига подписал контракт с «Керетаро»[4]. 8 января в матче против столичной «Америки» он дебютировал в мексиканской Примере[5]. 20 февраля в поединке против «Масатлана» Хосе забил свой первый гол за «Керетаро»[6].
В начале 2024 года Суньига перешёл в «Тихуану»[7]. 14 января в матче против «Америки» он дебютировал за новую команду[8]. 15 апреля в поединке против «Хуарес» Хосе забил свой первый гол за «Тихуану»[9]. Летом 2025 года Суньига подписал контракт со столичной «Америкой». 17 июля в матче против своего бывшего клуба «Тихуаны» он дебютировал за новую команду[10].