Меню Главная Случайная статья Настройки Суперкорень Материал из https://ru.wikipedia.org В математике суперкорень — это одна из двух обратных функций тетрации. Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при ${\displaystyle N>2}$. Суперкорень не является элементарной функцией. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Суперкорень второй степени и функция Ламберта 4 Открытые проблемы 5 Примечания 6 Ссылки Определение Для любого неотрицательного целого числа ${\displaystyle n\geqslant 0}$ суперкорень ${\displaystyle n}$-ой степени из ${\displaystyle a>0}$ можно определить, как одно из решений уравнения: ${\displaystyle {}^{n}x=a}$. Суперкорень — неоднозначная функция. Так при ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1}$ уравнение вида ${\displaystyle {}^{2}x=a}$ имеет два суперкорня из ${\displaystyle a}$, причём оба они будут положительны и меньше ${\displaystyle 1}$. Эта двойственность значений объясняется тем, что функция ${\displaystyle f(x)={}^{n}x}$ немонотонна. Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида ${\displaystyle f(x)={}^{n}x}$ глобального минимума. Например, при ${\displaystyle n=2}$ производная функции ${\displaystyle f(x)={}^{2}x}$ имеет одну точку экстремума ${\displaystyle x={\frac {1}{e}}}$, из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle 0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}}$ становится невозможным (см. график). Примеры Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа: Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=65536;}$ Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как ${\displaystyle 3^{3}=27;}$ Суперкорень второй степени из ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ имеет два значения: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, так как ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac {1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$ Суперкорень второй степени и функция Ламберта Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта[1]. А именно решением уравнения ${\displaystyle x^{x}=a}$ является ${\displaystyle \mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))}}$. Так как функция Ламберта ${\displaystyle W(z)}$ является многозначной функцией на интервале ${\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}$, то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на ${\displaystyle (e^{-1/e},1)}$. Открытые проблемы Ни для какого целого ${\displaystyle n>3}$ неизвестно, является ли корень уравнения ${\displaystyle {}^{n}x=2}$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Примечания Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5. — С. 333. — doi:10.1007/BF02124750. Ссылки Сайт про тетрацию Эндрю Робинса. Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера. Форум по обсуждению тетрации. Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.