Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Алаоглу Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Алаоглу — теорема функционального анализа, один из важнейших результатов о слабой топологии. Находит применение в физике, при описании множества состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние может быть записано в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний. Обычно в доказательстве идентифицирует единичный шар со слабой* топологией с замкнутым подмножеством произведения компактных множеств с топологией произведения. Как следствие теоремы Тихонова, это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны. Содержание 1 Формулировка 2 История 3 Примечания 4 Литература Формулировка Замкнутый единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен в слабой* топологии. История Согласно Питчу, существует по меньшей мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или её важного предшественника[1] В 1912 году Эдуард Хелли доказал, что единичный шар непрерывного двойственного пространства ${\displaystyle C([a,b])}$ является счётно компактным в слабой* топологии[2]. В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства секвенциально слабо* компактен[2]. Доказательство общего случая было опубликовано в 1940 году Леонидасом Алаоглу. Примечания Narici, Beckenstein, 2011, pp. 235—240. 1 2 Narici, Beckenstein, 2011, pp. 225—273. Литература Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.) (англ.). — Boca Raton: CRC Press, 2011. — ISBN 978-1584888666.