Меню Главная Случайная статья Настройки Шар Материал из https://ru.wikipedia.org Шар (англ. ball; solid sphere) — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра шара на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга (или круга) вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает. Шар есть частный случай полной области Рейнхарта[1]. Содержание 1 Связанные определения 2 Основные геометрические формулы 3 Определения 3.1 Замечания 4 Свойства 4.1 Объём 4.1.1 Рекурсия 4.1.2 Пространства младших размерностей 4.1.3 Пространства старших размерностей 5 Гипершар 6 Сферический слой 6.1 Определение сферического слоя 7 Шаровой слой 8 Примеры 9 Примечания 10 Источники 11 Литература 12 Ссылки на онлайн калькуляторы Связанные определения Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле R. Основные геометрические формулы Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и объём ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$) определяются формулами: ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$ ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке ${\displaystyle \left(0;0\right)}$. Уравнение окружности этого круга : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}$, откуда ${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$. Функция ${\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)}$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно: ${\displaystyle {1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}$ Откуда ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$ Ч. т. д. ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$