Ru.Wikipedia.Org - Теорема Грина

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Теорема Грина — Тао
Материал из https://ru.wikipedia.org

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Содержание

Формулировка

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются^[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках

\mathbb {P}

означает множество простых чисел. Запись

\log _{[k]}x

означает

\log \log \dots \log x

, где логарифм берётся

k

раз.

Теорема Грина — Тао

Пусть $A$ — множество простых чисел, и его плотность относительно простых $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ строго положительна. Тогда для любого $k\geqslant 2$ множество $A$ содержит арифметическую прогрессию длины $k$ .

В своей отдельной более ранней работе^[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества

A

, но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа $c$ такая, что если для множества простых чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ выполнено $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}$ , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке

[1,n]

, то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда

|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}

\delta >0

. Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа $c$ такая, что для любого множества простых чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ и его плотности $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ будет выполнено следствие: если $N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}$ , то $A$ содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Примеры

18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел^[4]:
468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.
12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщения

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий^[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P₁, …, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).

См. также

Примечания

Green, Ben; Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481.
И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях Архивная копия от 24 июля 2018 на Wayback Machine, с. 117.
Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Архивная копия от 14 июля 2014 на Wayback Machine.

Ссылки

MathWorld news article on proof (англ.)
Primes in Arithmetic Progression Records (англ.)