Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Колмогорова Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Колмогорова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу. Содержание 1 Формулировка 1.1 Замечание 2 Определение границ доверительной зоны 3 Литература 4 См. также Формулировка Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — выборка объёма ${\displaystyle n}$ , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$. Пусть ${\displaystyle F_{n}(x)}$ — выборочная функция распределения. Тогда ${\displaystyle {\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\to K}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$, где ${\displaystyle K}$  — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова. Замечание Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$. Определение границ доверительной зоны Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция ${\displaystyle F(x)}$: ${\displaystyle P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,}$ ${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,}$ где ${\displaystyle k_{\gamma }}$ — квантиль уровня ${\displaystyle \gamma }$ закона распределения Колмогорова. Таким образом с вероятностью ${\displaystyle \gamma }$ при ${\displaystyle n\to \infty \quad F(x)}$ находится в указанном интервале. Вероятность ${\displaystyle \gamma }$ называют уровнем значимости. Область, определяемую этими границами, называют асимптотической ${\displaystyle \gamma }$-доверительной зоной для теоретической функции распределения. Литература Боровков А. А. Математическая статистика. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — С. 390. — ISBN 978-5-8114-1013-2. См. также Критерий согласия Колмогорова Распределение Колмогорова Теорема Гливенко — Кантелли.