Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.
Содержание
Формулировка
Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверхностями, переводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.
История
Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник,
был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.[1]
Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.[2]
Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена и исправлена Штейницем в 1934 году[3].
Вариации и обобщения- Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
- Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
- Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
См. также
Примечания
- Legendre, A. M. "lments de gomtrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.
- Cauchy A. L. Sur les polygones et polydres, Second mmoire // J. de l’cole Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.
- Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.
- А. В. Погорелов. Однозначная определённость общих выпуклых поверхностей. Монографии института математики, вып. II. 1952.
- Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969. — 760 с.
- Ю. А. Волков. Оценка деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики (рус.) // Доклады Академии наук. — 1968. — Т. 178, № 6. — С. 1238–1240.
- Ю. А. Волков. Оценка деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики (рус.) // Украинский геометрический сборник. — 1968. — Т. 5-6. — С. 44—69.
Литература
|
|