Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Была доказана независимо друг от друга Леопольдом Кронекером и Альфредо Капелли.
Содержание
Название теоремы
В России это теорема Кронекера — Капелли, в Италии и англоязычных странах — теорема Руше — Капелли, в Испании и странах Латинской Америки — теорема Руше — Фробениуса.
Пояснения
Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда , где —
расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца [1].
Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .
Достаточность
Пусть . Возьмём в матрице какой-нибудь базисный минор.
Так как , то он же будет базисным минором и матрицы .
Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы .
Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .
Следствия- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Примечания
- Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 65.
Литература- В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
|
|