Меню Главная Случайная статья Настройки Система линейных алгебраических уравнений Материал из https://ru.wikipedia.org Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел. Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике. Могут обобщаться на случай бесконечного множества неизвестных. Содержание 1 Соглашения и определения 2 Матричная форма 3 Эквивалентные системы линейных уравнений 4 Методы решения 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки Соглашения и определения Общий вид системы линейных алгебраических уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}$ Здесь ${\displaystyle m}$ — количество уравнений, а ${\displaystyle n}$ — количество переменных, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}}$ и свободные члены ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$ предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений (${\displaystyle a_{ij}}$) формируются по следующему соглашению: первый индекс (${\displaystyle i}$) обозначает номер уравнения, второй (${\displaystyle j}$) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент[1]. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0}$), иначе — неоднородной. Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных (${\displaystyle m=n}$). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений, является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой. Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность ${\displaystyle n}$ чисел ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$, таких что их соответствующая подстановка вместо ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой. Матричная форма Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$ или: ${\displaystyle Ax=b}$. Здесь ${\displaystyle A}$ — это матрица системы, ${\displaystyle x}$ — столбец неизвестных, а ${\displaystyle b}$ — столбец свободных членов. Если к матрице ${\displaystyle A}$ приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. (На самом деле, в СЛАУ, вектор неизвестных является вектор-строкой, но производимое действие по правилам матричного умножения совпадает с умножением матрицы на вектор-столбец, поэтому и записывается справа от матрицы как вектор-столбец.) Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы. Эквивалентные системы линейных уравнений Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Также считается, что системы, не имеющие решений, эквивалентны. Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной. Система линейных алгебраических уравнений ${\displaystyle A\mathbf {x} \ =\mathbf {b} }$ эквивалентна системе ${\displaystyle CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle C}$ — невырожденная матрица. В частности, если сама матрица ${\displaystyle A}$ — невырожденная и для неё существует обратная матрица ${\displaystyle A^{-1}}$, то решение системы уравнений можно формально записать в виде ${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }$. Методы решения Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений. Некоторые прямые методы: Метод Гаусса. Метод Гаусса — Жордана. Метод Крамера. Матричный метод. Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц). Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц). Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения ${\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime }}$, эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации ${\displaystyle \mathbf {x} }$ в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге: ${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime }}$. Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода: Основанные на расщеплении: ${\displaystyle (M-N)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+1}=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b} }$. Вариационного типа: ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min }$. Проекционного типа: ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf {m} }$. Среди итерационных методов: Метод Якоби (метод простой итерации). Метод Гаусса — Зейделя. Метод релаксации. Многосеточный метод. Метод Монтанте. Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ). Метод обобщённых минимальных невязок[англ.]. Метод бисопряжённых градиентов. Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов. Квадратичный метод бисопряжённых градиентов. Метод квази-минимальных невязок (QMR). Метод вращений[2]. См. также Система уравнений. Система нелинейных уравнений. Система дифференциальных уравнений. Примечания Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра : учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0. Ссылки