Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Пуассона Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Пуассона (предельная теорема Пуассона) — утверждение теории вероятностей о сходимости распределений сумм независимых случайных величин в схеме Бернулли к распределению Пуассона. Установлена Пуассоном в 1837 году. В общей формулировке для последовательности серий независимых испытаний ${\displaystyle \{X_{nj}\}_{j=1}^{n}}$ с вероятностями наступления событий: ${\displaystyle p_{nj}=\mathrm {P} \{X_{nj}=1\}=1-P\{X_{nj}=0\}}$ такими, что при больших ${\displaystyle n}$ они в пределе стремятся к нулю: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{1\leqslant j\leqslant n}p_{nj}=0}$, при этом в сумме в серии конечны и отличны от нуля: ${\displaystyle 0<\lambda =\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}p_{nj}<\infty }$, для событий ${\displaystyle S_{n}=X_{n1}+\dots +X_{nn}}$ предельное утверждение теоремы для всех ${\displaystyle k=0,1,\dots }$: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {P} \{S_{n}=k\}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$. Широко распространена интерпретация результата как закона малых чисел (Борткевич, 1908)[1] или как теоремы о редких событиях для схемы Бернулли: при малой вероятности ${\displaystyle p}$ наступления каждого из событий по мере роста количества испытаний ${\displaystyle n}$ вероятности того, что событие наступило ${\displaystyle k}$ раз, приближаются к[2]: ${\displaystyle {\frac {(np)^{k}}{k!}}e^{-np}}$. Вместе с теоремой Муавра — Лапласа теорема Пуассона даёт характеристику асимптотического поведения биномиального распределения[3]. Неравенство Ле Кама[4]: скорость сходимости (в общей формулировке) может быть оценена: ${\displaystyle {\Big |}\mathrm {P} \{S_{n}=k\}-\exp {\big (}{-\sum _{j=1}^{n}p_{nj}}{\big )}{\frac {(\sum _{j=1}^{n}p_{nj})^{k}}{k!}}{\Big |}\leqslant 2\cdot \sum _{j=1}^{n}p_{nj}^{2}}$; например, при ${\displaystyle p_{n1}=\dots =p_{nn}=\lambda /n}$ оценка ошибки — ${\displaystyle ^{2\lambda ^{2}}\!/_{n}}$, которая уменьшается по мере роста ${\displaystyle n}$. Обобщения результата развивались по двум направлениям[3] — уточнения, основанные на асимптотических разложениях, и нахождение более общих условий сходимости сумм независимых случайных величин к распределению Пуассона[5]. Примечания ВМСЭ, 1999. БРЭ. 1 2 МЭ, 1984. Ле-Кам Л.[фр.]. Сходимость по распределению случайных процессов // Математика. — 1960. — Т. 4, вып. 3. — С. 107–142. Золотарёв, 1986. Литература Пуассона теорема // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017. В. Ю. Королёв. Пуассона теорема // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 523—524. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.