Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Если на каждой из двух соседних сторон квадрата построить по равностороннему треугольнику (либо оба внутрь, либо оба вовне квадрата), то вершины этих 2 треугольников, не являющиеся вершинами квадрата, и вершина квадрата, не являющаяся вершиной треугольников, образуют равносторонний треугольник.

Пусть ${\displaystyle ABC}$ — произвольный треугольник, ${\displaystyle D}$ — произвольная точка на стороне ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle I_{1}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle AD,BD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности, ${\displaystyle I_{2}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle CD,AD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности. Тогда отрезок ${\displaystyle I_{1}I_{2}}$ проходит через точку ${\displaystyle I}$ — центр окружности, вписанной в ${\displaystyle \Delta ABC}$, и при этом ${\displaystyle I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}$, где ${\displaystyle \varphi =\angle BDA}$.

Теорема^{[1][нет в источнике]}. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника.