Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Шпильрайна Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство 3 Обобщения и усиления 3.1 Теорема Душника — Миллера 3.2 Случай групп 3.3 Случай векторных пространств 4 Ссылки 5 См. также Формулировка Любое отношение частичного порядка ${\displaystyle \leqslant }$, заданное на некотором множестве ${\displaystyle X}$, может быть продолжено до отношения линейного порядка. Доказательство Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна). Обобщения и усиления Теорема Душника — Миллера Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка. Случай групп Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы ${\displaystyle G}$, когда он удовлетворяет следующему условию: для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle a_{i}\neq e}$) можно так подобрать знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$), что ${\displaystyle P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$ Здесь ${\displaystyle S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})}$ — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$, ${\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\}}$ — положительный конус отношения ${\displaystyle \leqslant }$. Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального, бесконечного порядка. Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из ${\displaystyle a\notin P}$ следует, что для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle a_{i}\neq e}$) существуют такие подходящие знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$), что ${\displaystyle P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$ Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \leqslant }$ изолирован, то есть из ${\displaystyle a^{n}\geqslant e}$ для некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$ следует ${\displaystyle a\geqslant e}$. Случай векторных пространств Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка. Ссылки Шпильрайн, Е. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel, Fundamenta Mathematicae, 16: 386–389, ISSN 0016-2736, Архивировано 6 февраля 2012. См. также Частично упорядоченное множество