Меню Главная Случайная статья Настройки Нейтральный элемент Материал из https://ru.wikipedia.org Нейтральный элемент — элемент, который относительно заданной бинарной операции оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам: в магме ${\displaystyle (M,*)}$ элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle *}$ если ${\displaystyle x*e=e*x=x}$ для любых ${\displaystyle x\in M}$. В случаях некоммутативных операций вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }*x=x}$ и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого ${\displaystyle x*e_{\mathrm {r} }=x}$ для любых ${\displaystyle x\in M}$. В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и правый нейтральный ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }*e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$). Если бинарную операцию рассматривают как обобщение сложения («аддитивная нотация»), то нейтральный элемент обычно называют нулём, если умножения («мультипликативная нотация») — то единицей; обозначают их обычно соответственно ${\displaystyle \mathrm {0} }$ и ${\displaystyle \mathrm {1} }$. Например, в полях нулём называют нейтральный элемент по сложению, а единицей — нейтральный элемент по умножению. В порядках, решётках и подобных им структурах нейтральный элемент по взятию точной верхней грани часто обозначают ${\displaystyle \bot }$, а по взятию точной нижней грани — ${\displaystyle \top }$. Магма с делением (то есть квазигруппа), оснащённая нейтральным элементом является лупой. Магма с ассоциативной операцией (то есть полугруппа) с нейтральным элементом — моноид. В кольце по определению всегда имеется нейтральный элемент по сложению — нуль, а в кольцах с единицей имеется также нейтральный элемент по умножению — единица. Примеры: Множество Бинарная операция Нейтральный элемент Вещественные числа ${\displaystyle +}$ (сложение) число 0 Вещественные числа ${\displaystyle \cdot }$ (умножение) число 1 Вещественные числа ${\displaystyle -}$ (вычитание) число 0 (нейтральный справа) Вещественные числа ${\displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень) число 1 (нейтральный справа) Расширенная числовая прямая ${\displaystyle \div }$ (деление) число 1 (нейтральный справа) Векторное пространство ${\displaystyle +}$ (сложение векторов) ${\displaystyle {\vec {0}}}$ (нуль-вектор) Матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle +}$ (матричное сложение) нулевая матрица Матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \times }$ (матричное произведение) единичная матрица Функции вида ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle \circ }$ (композиция функций) тождественное отображение Символьные строки конкатенация пустая строка Расширенная числовая прямая ${\displaystyle \min }$ (минимум) или ${\displaystyle \inf }$ (инфимум) ${\displaystyle +\infty }$ Расширенная числовая прямая ${\displaystyle \max }$ (максимум) или ${\displaystyle \sup }$ (супремум) ${\displaystyle -\infty }$ Подмножества множества ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cap }$ (пересечение множеств) ${\displaystyle M}$ Множества ${\displaystyle \cup }$ (объединение множеств) ${\displaystyle \varnothing }$ (пустое множество) Исчисление высказываний ${\displaystyle \wedge }$ (конъюнкция) ${\displaystyle \top }$ (истина) Исчисление высказываний ${\displaystyle \lor }$ (дизъюнкция) ${\displaystyle \bot }$ (ложь) Ссылки Weisstein, Eric W. Identity Element (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.