Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема об инвариантности области Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт. Содержание 1 История 2 Формулировка 2.1 Замечания 3 Следствия 4 Вариации и обобщения 5 Примечеания История Теорема доказана Брауэром.[1] Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.[2] Формулировка Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ  ${\displaystyle B=f(U)}$ является открытым подмножеством в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Более того, ${\displaystyle f}$ задаёт гомеоморфизм ${\displaystyle U\to B}$. Замечания Заключение теоремы можно сформулировать так: ${\displaystyle f}$ является открытым отображением. Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности. Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}$ гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым. Следствия Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны. Эта теорема используется в доказательстве существования выпуклого многогранника с данной развёрткой.[3] Вариации и обобщения Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности. Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.[4] Примечеания Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; см. также 72 (1912), pages 55–56 Александров А. Д. Избранные труды. — Новосибирск: Наука, 2007. — Т. 2 (Выпуклые многогранники). — iv + 492 с. — 700 экз. — ISBN 978-5-02-023184-9. Архивировано 5 марта 2016 года. А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608. Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.