Меню Главная Случайная статья Настройки Топологическая K-теория Материал из https://ru.wikipedia.org В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху. Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Периодичность Ботта 4 Приложения 5 Характер Чженя 6 См. также 7 Ссылки 8 Литература Определения Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тогда ${\displaystyle K_{k}(X)}$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных ${\displaystyle k}$-векторных расслоений над В качестве начального примера заметим, что Существует редуцированная версия ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$ Продолжается до длинной точной последовательности ${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$ Пусть Sn будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим: ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$ Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность. Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как: ${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$ Где ${\displaystyle X_{+}}$ это ${\displaystyle X}$ с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+». [1] Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами. Свойства Kn и, соответственно ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$ являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K-теория над стягиваемыми пространствами это ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Спектром K-теории является ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ (с дискретной топологией на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ), т.е. ${\displaystyle K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$ Аналогично, ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$ Для вещественной K теории используется пространство BO . Аналогом операций Стинрода в K-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории. Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений. Изоморфизм Тома в топологической K теории это: ${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$ где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий. Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах. Периодичность Ботта Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так: ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$ и ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$, где H - класс тавтологического расслоения на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$ то есть на сфере Римана. ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$ В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8. Приложения Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах. Характер Чженя Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса ${\displaystyle X}$ с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм ${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$ такой, что ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$ Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$. См. также Теорема Атьи-Зингера об индексе Ссылки Источник. Архивировано 17 апреля 2018 года. Литература Atiyah, Michael Francis. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0. Handbook of K-Theory. — Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4. Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — ISBN 0-387-08090-2. Hatcher, Allen. Vector Bundles & K-Theory  (неопр.). Stykow, Maxim. Connections of K-Theory to Geometry and Topology  (неопр.). Karoubi, Max (2006). K-theory. An elementary introduction. arXiv:math/0602082.