Меню Главная Случайная статья Настройки Торическое сечение Материал из https://ru.wikipedia.org Торическое сечение — сечение тора произвольной плоскостью. Частные случаи сечений тора, кривые Персея, были исследованы ещё около 150 года до н. э. древнегреческим геометром Персеем[1], общий случай изучен Жаном Дарбу XIX веке[2]. Торическое сечение — это плоская кривая четвёртого порядка[2] вида $${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.}$$ Пять параметров уравнения определяются через два параметра тора — радиусы малой и большой окружностей ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$[3] и через три параметра, задающих секущую плоскость[4]. Если плоскость не пересекает тор, то уравнение не имеет действительных решений. Например, сечение тора с параметрами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle r<R}$) бикасательной плоскостью задаётся формулой $${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0;}$$ формула может быть разложена в произведение формул для двух окружностей. Сечения тора плоскостью параллельной его оси (перпендикулярной плоскости вращения окружности) называются кривыми Персея или спирическими сечениями. Частные случаи кривой Персея — лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка»). Сечение тора плоскостью, перпендикулярной его оси, является кольцом. Наиболее интересным косым сечением тора является сечение бикасательной плоскостью — окружности Вилларсо. Неочевидным образом это сечение представляет собой две пересекающиеся окружности. Точки их пересечения совпадают с точками касания секущей плоскости и тора[5]. Примечания Brieskorn, Egbert; Knrrer, Horst (1986), Origin and generation of curves, Plane algebraic curves (англ.), Basel: Birkhuser Verlag, pp. 2–65, doi:10.1007/978-3-0348-5097-1, ISBN 3-7643-1769-8, MR 0886476. 1 2 Тор можно разместить любым удобным образом в центре координат. Один параметр (поворот сечения на плоскости) можно убрать за счёт центральной симметрии тора.