Меню Главная Случайная статья Настройки Тороидальная система координат Материал из https://ru.wikipedia.org Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы. Содержание 1 Определение 1.1 Связь с декартовыми координатами 1.2 Связь с цилиндрическими координатами 1.3 Альтернативное определение 2 Свойства 2.1 Координатные поверхности 2.2 Дифференциальные характеристики 3 Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах 4 Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Определение Связь сдекартовыми координатами Тороидальная система координат ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\varphi )}$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты: ${\displaystyle x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad y={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}$, где ${\displaystyle c>0}$ — масштабный множитель и радиус окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0}$ в которую вырождается тороидальная координатная поверхность ${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const} }$ при ${\displaystyle \alpha _{0}\rightarrow \infty }$. Пределы изменения координаты ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <\infty }$. Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси ${\displaystyle x=0,\,y=0}$. Две другие координаты являются циклическими с периодом ${\displaystyle 2\pi }$, например можно выбрать ${\displaystyle -\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi }$ Связь сцилиндрическими координатами Формулы перехода из тороидальных координат ${\displaystyle (\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )}$ в цилиндрические координаты ${\displaystyle (z,r,\varphi )}$: ${\displaystyle r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}.}$ Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки ${\displaystyle (z,r,\varphi )}$ вычисляют значения ${\displaystyle R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr}}}$ — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности ${\displaystyle r=c,\,z=0}$, через которые затем выражаются ${\displaystyle \kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\prime }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+}}}}$ Альтернативное определение В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты ${\displaystyle (\rho ,\beta ,\varphi )}$, такие, что: ${\displaystyle z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta }$ (в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal, а не англ. toroidal). В этом случае циклические координаты ${\displaystyle \beta ,\,\varphi }$ называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности ${\displaystyle r=c,\,z=0}$, на которой ${\displaystyle \rho =0}$. Вблизи магнитной оси координаты ${\displaystyle \beta }$ для обеих систем приближенно совпадают, а координаты ${\displaystyle \rho \equiv R_{-}}$ и ${\displaystyle u}$ связываются между собой соотношением: ${\displaystyle 2\kappa ^{\prime }(u)\approx \rho /c}$. Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты[1], в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных ${\displaystyle \alpha }$ или ${\displaystyle \rho }$ „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно. Свойства Координатные поверхности ${\displaystyle \alpha =\mathrm {const} }$ — торы ${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({\frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}}$, ${\displaystyle \beta =\mathrm {const} }$ — сферы ${\displaystyle (z-c\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta }}\right)^{2}}$, ${\displaystyle \varphi =\mathrm {const} }$ — полуплоскости ${\displaystyle {\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}}$. Дифференциальные характеристики Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид: ${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm {sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.}$ Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной. Квадрат линейного элемента: ${\displaystyle ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})}$. Квадрат элемента площади: ${\displaystyle dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d\beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \,d\varphi )^{2})}$. Элемент объёма: ${\displaystyle dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}d\alpha \,d\beta \,d\varphi }$. Коэффициенты Ламе: ${\displaystyle h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }},\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}$. Якобиан: ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )}}={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}}$. Символы Кристоффеля второго рода: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.}$ Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением: ${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c}}\left({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e}}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }\right).}$ Дивергенция векторного поля: ${\displaystyle \ \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta }}+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \beta )}$ Оператор Лапласа: ${\displaystyle \Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}$ Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид: ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=0}$ Решение удобно искать в виде: ${\displaystyle u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta }}}$, тогда уравнение для функции ${\displaystyle v}$: ${\displaystyle v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0}$. После чего можно разделить переменные: ${\displaystyle v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )}$. В результате получится система: ${\displaystyle {\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {k_{\varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}}$ В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся. Примечания Shafr98, 1998. Литература Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с. Ссылки Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.