Меню Главная Случайная статья Настройки Точка Аполлония Материал из https://ru.wikipedia.org Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181). Содержание 1 Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония 2 Окружность Аполлония 2.1 Определение окружности Аполлония 2.2 Радиус окружности Аполлония 2.3 Определение точки Аполлония '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' 3 Замечание 4 Свойство 5 См. также 6 Примечания Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония ${\displaystyle Ap}$[1][2]. Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181). В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке). Окружность Аполлония Определение окружности Аполлония Дан треугольник ${\displaystyle ABC.}$ Пусть вневписанные окружности треугольника ${\displaystyle ABC,}$ противоположные вершинам ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C,}$ есть соответственно ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B},}$ ${\displaystyle E_{C}}$ (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония ${\displaystyle E}$ (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ${\displaystyle ABC}$ в точках соответственно ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}}$ (см. рисунок)[3]. Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность ${\displaystyle E,}$ касающаяся трех данных окружностей ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}}$ внешним образом. Радиус окружности Аполлония Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}},}$ где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности и ${\displaystyle s}$ — полупериметр треугольника[4]. Определение точки АполлонияAp{\displaystyle Ap} Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом: Пусть ${\displaystyle A',}$ ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ есть точки касания окружности Аполлония ${\displaystyle E}$ с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые ${\displaystyle AA',}$ ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle Ap,}$ которую называют точкой Аполлония треугольника ${\displaystyle ABC.}$ Ее трилинейные координаты: ${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}=}$ ${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).}$ Замечание На рисунке указанная точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ${\displaystyle ABC,}$ опущенных из точек касаний ${\displaystyle A',}$ ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ${\displaystyle ABC,}$ образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}.}$ Хотя эта точка ${\displaystyle Ap}$ лежит в точке пересечения трех отрезков ${\displaystyle AA',}$ ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC',}$ но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают. Свойство Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником. См. также Точки Аполлония Примечания Kimberling, Clark. Apollonius Point  (неопр.). Дата обращения: 16 мая 2012. Архивировано 10 мая 2012 года. C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problem 1091 and Solution (англ.) // Crux Mathematicorum[англ.] : journal. — 1987. — Vol. 13. — P. 217—218. Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175—182. Milorad R. Stevanovic. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187—195..