Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Уравнение Д’Аламбера
Материал из https://ru.wikipedia.org

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида



где и  — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при называется уравнением Клеро[1].

Содержание

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра


С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид


Дифференцирование по x даёт:


или


Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной , удовлетворяющей алгебраическому уравнению


так как для постоянного


Если , то , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:


так как в рассматриваемом случае , то
.


Окончательно можем написать:
.


Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:
.


Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:


Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:
.


Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде
.


Примечания
  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.
Downgrade Counter