Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение Д’Аламбера Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида ${\displaystyle y=x\varphi (y')+f(y'),}$ где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle f}$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при ${\displaystyle \varphi (y')\equiv y'}$ называется уравнением Клеро[1]. Содержание 1 Решение 1.1 Особые решения 1.2 Общее решение 2 Примечания Решение Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра ${\displaystyle y'=p.}$ С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид ${\displaystyle y=x\varphi (p)+f(p).}$ Дифференцирование по x даёт: ${\displaystyle p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}}$ или ${\displaystyle p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}.}$ Особые решения Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной ${\displaystyle y'=p=p_{0}}$, удовлетворяющей алгебраическому уравнению ${\displaystyle p_{0}-\varphi (p_{0})=0,}$ так как для постоянного ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}\equiv 0.}$ Если ${\displaystyle y'=p_{0}}$, то ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0}}$, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение: ${\displaystyle p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),}$ так как в рассматриваемом случае ${\displaystyle p_{0}=\varphi (p_{0})}$, то ${\displaystyle C_{0}=f(p_{0})}$. Окончательно можем написать: ${\displaystyle y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})}$. Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым. Общее решение Будем рассматривать обратную функцию к ${\displaystyle p=y'}$, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать: ${\displaystyle {\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f'(p)}{p-\varphi (p)}}}$. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p: ${\displaystyle x=w(p,C).}$ Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде: ${\displaystyle {\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}}$. Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде ${\displaystyle \Phi (x,y,C)=0}$. Примечания Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.