Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение движения сплошной среды Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды: ${\displaystyle \rho {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\nabla \cdot T+\rho {\vec {f}}}$, где ${\displaystyle \rho }$ — плотность в точке, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость в точке, ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ — материальная (субстанциональная, полная) производная, ${\displaystyle T}$ — тензор напряжений Коши, ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — вектор внешних массовых сил. Содержание 1 Историческая справка 2 Вид уравнения в декартовой системе координат 3 Специальные формы уравнения 4 Примечания Историческая справка Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г.[1], краткая публикация в 1823 г.[2], полная публикация — в 1828 г.[3]). Вид уравнения в декартовой системе координат В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид[4] ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},}$ ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},}$ ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z},}$ где ${\displaystyle \rho (x,y,z,t)}$ — плотность сплошной среды, ${\displaystyle v_{x}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle v_{y}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle v_{z}(x,y,z,t)}$ — проекции скорости среды, ${\displaystyle p_{ij}}$ — компоненты тензора напряжений, ${\displaystyle F_{x}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle F_{y}(x,y,z,t)}$, ${\displaystyle F_{z}(x,y,z,t)}$ — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции. Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы. В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _{k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,}$ где символ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ обозначает ковариантную производную по ${\displaystyle i}$-ой координате, а по повторяющемуся индексу ${\displaystyle k}$ производится суммирование от одного до трёх. Специальные формы уравнения Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), ${\displaystyle {\vec {v}}\equiv 0}$, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия ${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},}$ ${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},}$ ${\displaystyle 0={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z}.}$ Частными случаями уравнения движения являются уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости); уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости); уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды). Примечания Трусделл К. Очерки по истории механики. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3. — [Архивировано 7 декабря 2013 года.] Cauchy. Recherches sur l'quilibre et le mouvement intrieur des corps solides, lastiques ou non lastiques // Bulletin de la Socit Philomatique. — 1823. Архивировано 7 декабря 2013 года. Cauchy. Sur les quations qui expriment les conditions d'quilibre ou les lois du mouvement intrieur d'un corps solide, lastique ou non lastique. — 1828. Архивировано 7 декабря 2013 года.