Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Герона Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Герона — формула для вычисления площади треугольника ${\displaystyle S}$ по длинам его сторон ${\displaystyle a,b,c}$: ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника: ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)}$. Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник. ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$, где ${\displaystyle \ \gamma }$ — угол треугольника, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$. По теореме косинусов: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}$ Отсюда: ${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}$ Значит, ${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$ ${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$ ${\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$. Замечая, что ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$, ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$, получаем: ${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$ Таким образом, ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$ ч.т.д.