Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Карно Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Карно связывает сумму расстояний от центра описанной окружности треугольника до 3 его сторон и радиусов его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь французского учёного Лазара Карно (1753—1823). Содержание 1 Формулировка 2 Другие формулировки 2.1 Замечания 3 Следствия 4 Примечания 5 См. также 6 Литература 7 Ссылки Формулировка Пусть ${\displaystyle D}$ — центр описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC.}$ Тогда сумма расстояний от ${\displaystyle D}$ до сторон треугольника ${\displaystyle ABC,}$ взятых со знаком минус, когда высота из ${\displaystyle D}$ на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна: ${\displaystyle R+r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, ${\displaystyle R}$ — описанной. В частности: ${\displaystyle \pm DF\pm DG\pm DH=R+r}$ при правильном выборе знаков[1]:p.83. Другие формулировки Формула Карно[2]: ${\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$ где ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника. Расстояние от центра описанной окружности например до стороны ${\displaystyle a}$ треугольника равно: ${\displaystyle k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);}$ расстояние от ортоцентра например до вершины ${\displaystyle A}$ треугольника равно: ${\displaystyle d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).}$ Если известны стороны треугольника ${\displaystyle a,b,c}$, то формула Карно принимает вид: ${\displaystyle R+r={\frac {abc+{\frac {1}{2}}(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}}$ Замечания В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея. Формулу Карно часто называют теоремой Карно[3]. Следствия Японская теорема о вписанном многоугольнике:[3] Если вписанный ${\displaystyle n}$-угольник разрезать на ${\displaystyle n-2}$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания. Более того, выпуклый ${\displaystyle n}$-угольник является вписанным, если это условие соблюдается. Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны. Примечания Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73. 1 2 Хонсбергер, 1990. См. также Критерий Карно Литература Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. — 1990. — № 7. — С. 54—57. Ссылки Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.