Меню Главная Случайная статья Настройки Мнимая единица Материал из https://ru.wikipedia.org Мнимая единица — комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1}$. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой ${\displaystyle i}$, в электротехнике — буквой ${\displaystyle j}$. Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу. Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века наряду с символом ${\displaystyle i}$ использовалось обозначение ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения[1][2]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1,}$ — число ${\displaystyle -i,}$ в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства: числа i и i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1; i и i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел). Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений. Содержание 1 Степени мнимой единицы 2 Факториал 3 Корни из мнимой единицы 4 Иные мнимые единицы 5 К вопросу об интерпретации и названии 6 Обозначения 7 См.также 8 Примечания 9 Ссылки Степени мнимой единицы Степени ${\displaystyle i}$ повторяются в цикле: ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle i^{-3}=i}$ ${\displaystyle i^{-2}=-1}$ ${\displaystyle i^{-1}=-i}$ ${\displaystyle i^{0}=1}$ ${\displaystyle i^{1}=i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle i^{3}=-i}$ ${\displaystyle i^{4}=1}$ ${\displaystyle \ldots }$ что может быть записано для любой степени в виде: ${\displaystyle i^{4n}=1}$ ${\displaystyle i^{4n+1}=i}$ ${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$ ${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$ где n — любое целое число. Отсюда: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$, где mod 4 — это остаток от деления на 4. Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина ${\displaystyle i^{i}}$, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел (${\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }$): ${\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)},}$ где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ При ${\displaystyle k=0}$ получаем число ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635...,}$ соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы. Представим основание в виде комплексной экспоненты (в этом случае её показателем будет комплексный логарифм): ${\displaystyle z=i^{i}=\left(e^{\operatorname {Ln} i}\right)^{i}=\left(e^{\ln |i|+i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}}$ Альтернативным путём является представление основания в показательной форме: ${\displaystyle z=i^{i}=\left(|i|e^{i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}}$ Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны. Найдем модуль и аргумент числа ${\displaystyle i}$: ${\displaystyle i=0+1i=x+yi\quad \Rightarrow \quad x=0,y=1}$ ${\displaystyle |i|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} i=\varphi +2\pi k}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \varphi =\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\right)=\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)=\left[{\color {white}\vdots }\operatorname {arctg} (+\infty ){\color {white}\vdots }\right]={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} i={\frac {\pi }{2}}+2\pi k}$ Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для ${\displaystyle z}$: ${\displaystyle z=\left(e^{\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=\left(e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=e^{i^{2}\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}}$ Таким образом, получаем: ${\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ И очевидно, что: ${\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }$ Теперь докажем, что число ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$ является частным значением ${\displaystyle i^{i}}$, которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы. Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$): ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\in (-\pi ,\pi ]}$ Подставляя его вместо ${\displaystyle \operatorname {Arg} i}$ в выражение для ${\displaystyle z}$, получим искомое частное значение: ${\displaystyle e^{-\varphi }=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635\ldots }$ Также верно, что ${\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$. Факториал Факториал мнимой единицы ${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$ Также ${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564...,}$[3] потому что Корни из мнимой единицы В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом. ${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$ В частности, ${\displaystyle \{{\sqrt {i}}\}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};~{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ и ${\displaystyle \{{\sqrt[{3}]{i}}\}=\left\{-i;~{\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};~{\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$ Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде: ${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1.}$ Иные мнимые единицы В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$. К вопросу об интерпретации и названии Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, 1 и 1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения 1 символ Обозначения Обычное обозначение — ${\displaystyle i}$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать ${\displaystyle j}$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: ${\displaystyle i=i(t)}$[4][5]. В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j. В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как . См.также Дуальные числа и двойные числа Комплексный анализ Кватернион Гиперкомплексное число Примечания Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 49. — 591 с. "abs(i!) Архивная копия от 6 июля 2015 на Wayback Machine", WolframAlpha. Комплексное число : [арх. 8 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017. Ссылки Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.