Ru.Wikipedia.Org - Функции Вейерштрасса

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Функции Вейерштрасса
Материал из https://ru.wikipedia.org

В математике функции Вейерштрасса — это специальные функции комплексного переменного, вспомогательные по отношению к эллиптической функции Вейерштрасса, названные в честь Карла Вейерштрасса. Соотношение между сигма-, дзета- и

\wp

-функциями аналогично функциям синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса — это котангенс, производная которого отрицательна квадрату косеканса.^[1]

Содержание

Сигма-функция Вейерштрасса

Сигма-функция Вейерштрасса связана с двумерной решеткой

\Lambda \subset \mathbb {C}

и определяется следующим произведением

{\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}

где

\Lambda ^{*}

обозначает

\Lambda -\{0\}

, а

(\omega _{1},\omega _{2})

есть фундаментальная пара периодов.

Благодаря тщательному использованию теоремы Вейерштрасса о целых функциях, которая так же относится к функции синуса, можно получить ещё одно, потенциально более понятное, определение с помощью бесконечного произведения

\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)

для любых

\{i,j\}\in \{1,2,3\}

при

i\neq j

и где использованы обозначения

\eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )

(см. дзета-функцию ниже). Это также «квазипериодическая» функция со следующим свойством:

\sigma (z+2\omega _{i})=-e^{2\eta _{i}(z+\omega _{i})}\sigma (z)

Сигма-функцию можно использовать для представления эллиптической функции:

f(z+\omega _{i})=f(z)\quad i\in \{1,\ldots ,n\}

и, зная её нули и полюса, лежащие в параллелограмме периода:

 $f(z)=c\prod _{j=1}^{n}{\frac {\sigma (z-a_{j})}{\sigma (z-b_{j})}}$

где

c

константа из

\mathbb {C}

, а

a_{j}

- нули и

b_{j}

- полюса содержащиеся в параллелограмме.

Дзета-функция Вейерштрасса

Дзета-функция Вейерштрасса определяется суммой

\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).

Дзета-функция Вейерштрасса — это логарифмическая производная сигма-функции. Её можно переписать следующим образом:

\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}

где

{\mathcal {G}}_{2k+2}

это ряд Эйзенштейна с весом 2 к + 2.

Производная дзета-функции равна

-\wp (z)

, где

\wp (z)

— эллиптическая функция Вейерштрасса.

Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел и прочими дзета-функциями, так как они совпадают лишь в названии.

Эта-функция Вейерштрасса

Эта-функция Вейерштрасса определяется как

\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ для любого }}z\in \mathbb {C}

и любого

w

в решётке

\Lambda

Это определение однозначно, т.е.

\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )

зависит только от вектора решётки

w

. Эта-функцию Вейерштрасса не следует путать ни с эта-функцией Дедекинда, ни с эта-функцией Дирихле.

-функция Вейерштрасса

Функция Вейерштрасса связана с дзета-функцией соотношением

\operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ для любого }}z\in \mathbb {C}

-функция Вейерштрасса — чётная эллиптическая функция порядка N=2 с двойным полюсом в каждой точке решётки, без других полюсов.

Вырожденный случай

Рассмотрим ситуацию, когда один период является вещественным, который мы можем масштабировать до значения

\omega _{1}=2\pi

, а другой стремится к пределу

\omega _{2}\rightarrow i\infty

так, что функции являются только однопериодическими. Соответствующие инварианты есть

\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}

дискриминанта

\Delta =0

. Тогда имеем

\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}

и, таким образом, из приведённого выше определения бесконечного произведения следует следующее равенство:

\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}

Обобщение для других синусоидальных функций на других двоякопериодических решетках:

f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}

Ссылки

Lang, Serge. Elliptic Functions. — Second. — New York, NY : Springer New York, 1987. — P. 7-11. — ISBN 978-1-4612-9142-8.