Меню Главная Случайная статья Настройки Функции Скорера Материал из https://ru.wikipedia.org Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году[1]. Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри: ${\displaystyle w''-zw={\frac {1}{\pi }}}$ Частными решениями этого уравнения являются функции: ${\displaystyle -\mathrm {Gi} (z)}$, ${\displaystyle \mathrm {Hi} (z)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Hi} (ze^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}})e^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}}}$. Содержание 1 Интегральное выражение 2 Связь с функциями Эйри 3 Разложение в ряд 4 Примечания 5 Литература Интегральное выражение Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}-{\frac {zt}{2}}\right)\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}zt+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+zt\right)\,dt.\end{aligned}}}$ Для действительного аргумента: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.\end{aligned}}}$ Связь с функциями Эйри Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{z}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (z)\int _{0}^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$ Откуда, очевидно: ${\displaystyle \mathrm {Gi} (z)+\mathrm {Hi} (z)=\mathrm {Bi} (z).}$ Разложение в ряд Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\cos \left({\frac {2k-1}{3}}\pi \right)\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}},\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}}.\end{aligned}}}$ Примечания R. S. Scorer. Numerical evaluation of integrals... (англ.) // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1950. — Vol. 3. — P. 107–112. Литература Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations