Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение в функциональных производных Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера). Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах[1]: ${\displaystyle du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n}}$ (1), где: ${\displaystyle u}$ и коэффициенты ${\displaystyle p_{j}}$ являются функциями от ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$. При переходе к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$ в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид: ${\displaystyle \delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau }$ (2), где: ${\displaystyle U}$ - неизвестный функционал от функции ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \tau }$ - переменная интегрирования. При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде: ${\displaystyle U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]}$ (3), где: ${\displaystyle U_{x(\tau )}^{'}}$ - функциональная производная. Если семейство функций ${\displaystyle x(t)}$ принадлежит пространству ${\displaystyle L_{2}}$ и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближений[2]. Если функционал ${\displaystyle U}$ зависит не только от функции ${\displaystyle x(t)}$, но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближений[3]. Примечания Леви, 1967, с. 107-108. Леви, 1967, с. 108-110. Леви, 1967, с. 110-112. Литература Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.