Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнения Швингера Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнения Швингера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году. Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных: ${\displaystyle \left\{{\frac {{\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}}{\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,}$ где ${\displaystyle S(\varphi )}$ — функционал действия, ${\displaystyle G(A)}$ — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала ${\displaystyle A(x)}$ есть классический объект той же природы, что и поле ${\displaystyle \varphi }$, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, ${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}$ — левая вариационная производная, ${\displaystyle \chi =+1}$ в бозонном случае, ${\displaystyle \chi =-1}$ в фермионном случае. Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель ${\displaystyle H(A)=G_{0}^{-1}G(A)}$, где ${\displaystyle G_{0}}$ — производящий функционал функций Грина свободной теории. Сделав в уравнении подстановку ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)}}$ и сократив после выполнения дифференцирования множитель ${\displaystyle e^{W(A)}}$, получим уравнение Швингера для производящего функционала ${\displaystyle W(A)}$ связных функций Грина ${\displaystyle W_{n}}$. Представив ${\displaystyle W(A)}$ в виде ряда ${\displaystyle W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},}$ и сравнивая коэффициенты при всех степенях ${\displaystyle iA}$, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина ${\displaystyle W_{n}}$. Уравнение Швингера в квантовой электродинамике Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов ${\displaystyle A^{\mu }(x)}$ с источником внешнего электромагнитного поля ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ в минимальной форме — ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu }}$. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом ${\displaystyle S[J]}$ источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок): ${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }(x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)}},}$ где ${\displaystyle S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.}$ ${\displaystyle \langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle }$ — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ ${\displaystyle T}$ обозначает хронологическое упорядочение операторов, ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}},}$ — вариационная производная. В итоге для двухточечной фермионной функции Грина ${\displaystyle G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi }}(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,}$ где ${\displaystyle \psi (x)}$ — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака: ${\displaystyle \left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}-e{\mathcal {A^{\mu }}}(x)\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}}\right\}G(x,y\vert J)=\delta ^{4}(x-y),}$ где ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — матрицы Дирака, ${\displaystyle e,m}$ — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля ${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)}$ получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ${\displaystyle J}$): ${\displaystyle \Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x\vert J)],}$ где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ определить ${\displaystyle G(x,y\vert J)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)}$ , называются уравнениями Швингера. Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения ${\displaystyle G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)}}=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y)}}.}$ Величина ${\displaystyle Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]}$ называется производящим функционалом. Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом: ${\displaystyle \Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu }}}G^{-1}(x,y\vert J),}$ где ${\displaystyle G^{-1}}$ — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера. Литература Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.