Меню Главная Случайная статья Настройки Функции Ганкеля Материал из https://ru.wikipedia.org Функции Ханкеля (Ганкеля) (функции Бесселя третьего рода) — линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ханкеля. ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iY_{\nu }(z)}$ — функция Ханкеля первого рода; ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iY_{\nu }(z)}$ — функция Ханкеля второго рода. Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца. Содержание 1 Свойства 2 См. также 3 Литература 4 Ссылки Свойства Представление функциями Бесселя первого рода: ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{-\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{i\sin(\nu \pi )}}}$ ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{-i\sin(\nu \pi )}}}$ Определитель Вронского: ${\displaystyle W\left[H_{\nu }^{(1)}(z),H_{\nu }^{(2)}(z)\right]=-{\frac {4i}{\pi z}}}$ Симметрия по индексу: ${\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)=e^{\nu \pi i}H_{\nu }^{(1)}(z)}$ ${\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)=e^{-\nu \pi i}H_{\nu }^{(2)}(z)}$ Асимптотические представления: ${\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$, если ${\displaystyle |z|\to \infty ,-\pi <\arg z<2\pi }$; ${\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$, если ${\displaystyle |z|\to \infty ,-2\pi <\arg z<\pi }$. См. также Функции Бесселя Сферические функции Модифицированные функции Бесселя Литература Ватсон Г. Теория бесселевых функций. В 2 т. — М.: ИЛ, 1949. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с. — (Справочная математическая библиотека). Ссылки Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4. Олвер Ф. Гл. 9. Функции Бесселя целого порядка // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 177—255. — 832 с. — 50 000 экз.