Меню Главная Случайная статья Настройки Функция Жуковского Материал из https://ru.wikipedia.org Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамике[1]. Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского[2]. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Преобразование Кармана — Треффца 4 Примечания 5 Литература Определение Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости ${\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$ по формуле[1] ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).}$ Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-линейной и квадратичной функции[3]: ${\displaystyle f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),}$ где ${\displaystyle S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}},\;S_{2}(z)=z^{2}.}$ Свойства ${\displaystyle f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)}$[1]. Обратной к функции Жуковского является функция ${\displaystyle g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1}}}$[4]. ${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$ отлична от нуля при ${\displaystyle z\neq \pm 1}$. Следовательно, отображение ${\displaystyle f(z)}$ является конформным везде, за исключением этих точек[5]. Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения[2]: круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle (-1,1)}$ действительной оси. круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ с разрезами по отрезкам ${\displaystyle (b,1)}$ и ${\displaystyle (-1,-a)}$, где ${\displaystyle 0<a,b<1}$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{\frac {1}{b}}\right)\right)}$. верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ и ${\displaystyle (1,+\infty )}$ на действительной оси. полукруг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace }$ на нижнюю полуплоскость. окружность, проходящая через точку ${\displaystyle 1}$ и содержащая точку ${\displaystyle -1}$, на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла[6]. Преобразование Кармана — Треффца Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную ${\displaystyle z}$ с преобразованной ${\displaystyle \zeta }$ равенством ${\displaystyle {\frac {\zeta -k}{\zeta +k}}={\frac {(z-1)^{k}}{(z+1)^{k}}},}$ где ${\displaystyle k<2}$. При ${\displaystyle k=2}$ получается ${\displaystyle \zeta =2f(z)}$[7]. Примечания 1 2 3 Маркушевич, 1957, с. 76. 1 2 Евграфов, 1991, с. 190. Маркушевич, 1957, с. 80. Евграфов, 1991, с. 188. Маркушевич, 1957, с. 79. Маркушевич, 1957, с. 327—328. Milne-Thomson, 1973, pp. 129. Литература Евграфов, М. А. Аналитические функции. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-014200-X.