Меню Главная Случайная статья Настройки Дробно-линейная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Дробно-линейная функция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции. Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае ${\displaystyle n}$-мерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай: при ${\displaystyle n=1}$ как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции, отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени; при ${\displaystyle n=1}$ в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования, отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя; при ${\displaystyle n=1}$ в комплексном и при ${\displaystyle n=2}$ в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей, — частный случай преобразования Мёбиуса. Содержание 1 Формальное определение 2 Вещественная дробно-линейная функция 2.1 Функция одной переменной 2.1.1 Асимптоты гиперболы 2.1.2 Каноническое уравнение гиперболы 2.2 Функция двух переменных 3 Комплексная дробно-линейная функция 4 Примечания 5 Источники Формальное определение Дробно-линейная функция — это числовая функция вида ${\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},}$ где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ — соответственно комплексные или вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты, ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1]. Возможно обобщение на кватернионы[2]. Вырожденные случаи[1]: если ${\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,}$ то дробно-линейная функция становится целой линейной функций; если ранг матрицы ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}$ равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную. У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[1]: ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;}$ равен двум ранг матрицы ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).}$ Вещественная дробно-линейная функция Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$ где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественные числа, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — вещественные коэффициенты, ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1]. Функция одной переменной В простейшем случае ${\displaystyle n=1}$ и действительных ${\displaystyle x_{1}=x,}$ ${\displaystyle a_{1}=a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1}=c,}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ — равнобочная гипербола с асимптотами ${\displaystyle x=-d/c}$ и ${\displaystyle y=a/c,}$ параллельными осям координат[1]. Пусть дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ несократима, то есть ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, и не сводится к целой линейной функции, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$. Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при ${\displaystyle x}$[3]: ${\displaystyle y={\frac {\displaystyle {\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{\displaystyle x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{\displaystyle x+{\frac {d}{c}}}}=}$ ${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}.}$ Теперь ясно, что график функции ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ получается из графика ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ следующими элементарными преобразованиями: растяжением в ${\displaystyle \left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|}$ раз по оси ${\displaystyle Oy}$, причём в случае ${\displaystyle ad-bc>0}$ с отражением относительно оси ${\displaystyle Ox}$; перенесением параллельно оси ${\displaystyle Ox}$ на ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$; перенесением параллельно оси ${\displaystyle Oy}$ на ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$. Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}}$ — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right),}$ не принадлежащая кривой, — её центр[3]. Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$[3]: «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$; на интервалах ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}$ функция везде возрастает при ${\displaystyle ad-bc>0}$ и везде убывает при ${\displaystyle ad-bc<0}$; при неограниченном увеличении ${\displaystyle |x|}$ значения функции неограниченно приближаются к ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$, что видно также из преобразования ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {\displaystyle a+{\frac {b}{x}}}{\displaystyle c+{\frac {d}{x}}}}.}$ Производная[4]: ${\displaystyle {\Biggl (}{\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}{\Biggr )}'={\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)^{2}}}.}$ Неопределённый интеграл: ${\displaystyle \int {\Biggl (}{\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}\left(\displaystyle x+{\frac {d}{c}}\right)}}{\Biggr )}dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.}$ Сначала приведём функцию ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{\displaystyle c^{2}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)}}}$ преобразованиями координат ${\displaystyle x'=x+{\frac {d}{c}},}$ ${\displaystyle y'=y-{\frac {a}{c}},}$ ${\displaystyle m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}}$ к простейшему виду ${\displaystyle y'={\frac {m}{x'}}}$, который называется уравнением обратной пропорциональности величин ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle y'}$[5]. Теперь повернём координатные оси на угол ${\displaystyle 45^{\circ },}$ сделав замену координат ${\displaystyle x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}},}$ ${\displaystyle y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}},}$ получим в новых координатах[5]: ${\displaystyle x'y'=m,}$ ${\displaystyle {\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,}$ ${\displaystyle {\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.}$ Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями ${\displaystyle a=b={\sqrt {2|m|}}.}$[5] Функция двух переменных В случае ${\displaystyle n=2}$ и действительных ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle a_{1},}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2},}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции ${\displaystyle y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}}$ представляет собой гиперболический параболоид[1]. Комплексная дробно-линейная функция Комплексная дробно-линейная функция — числовая функция вида ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$ где ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — комплексные числа, ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — комплексные коэффициенты, ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1]. При ${\displaystyle n=1}$ комплексная дробно-линейная функция ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ — аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, за исключением точки ${\displaystyle z=-d/c}$, в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс[1]. При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ комплексная дробно-линейная функция ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$ — мероморфная функция в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексных переменных ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$, имеющая полярное множество ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}$[1]. Примечания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция, 1979. Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups, 1983, p. 56. 1 2 3 Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952, с. 56—57. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137. 1 2 3 Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, 119, с. 120. Источники Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6. Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.